Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
é definida por
, orientada para baixo;
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes em
, que é o hemisfério
com
e normal apontando para baixo, para o campo
Segundo Stokes, devemos mostrar que
onde
é o círculo
, orientado no sentido horário visto de cima (pois a normal aponta para baixo).
Passo 2
Parametrizamos
por
que corre no sentido horário. Então
e sobre essa curva
Logo
Ao integrar de
a
, o termo com
some, e ficamos com
Passo 3
Calculamos o rotor de
:
Assim
é constante.
Passo 4
Para o hemisfério usamos coordenadas esféricas:
com
phiin[tfracpi2,pi] ,
thetain[0,2pi] . A normal apontando para baixo coincide com a normal externa do raio
2 , e
Então
e
Os termos com
costheta e
sintheta se anulam ao integrar em
theta , restando
Passo 5
Obtivemos
logo o Teorema de Stokes está verificado.
Resposta
Ambos os lados do Teorema de Stokes valem
4pi .