Nos itens abaixo, verifique o Teorema de Stokes para a superfície dada e campo vetorial:
S é definida por x^2+y^2+z^2=4, z <= 0, orientada para baixo; F=(2 y-z) i+(x+y^2- z) j+(4 y-3 x) k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes em S, que é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4 com z<=0 e normal apontando para baixo, para o campo
F=(2y-z),i+(x+y^2-z),j+(4y-3x),k
Segundo Stokes, devemos mostrar que
integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS = ointpartial SFcdot dr,
onde partial S é o círculo x^2+y^2=4,;z=0, orientado no sentido horário visto de cima (pois a normal aponta para baixo).

Passo 2

Parametrizamos partial S por
r(t)=(2cos t,;-2sin t,,0), 0<= t<=2pi,
que corre no sentido horário. Então
r'(t)=(-2sin t,;-2cos t,,0),
e sobre essa curva
F(r(t)) =l(-4sin tr),i +l(2cos t+4sin^2tr),j +l(-8sin t-6cos tr),k
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Fl(r(t)r)cdotr'(t) =8sin^2t -l(4cos^2t+8sin^2tcos tr) =8sin^2t-4cos^2t-8sin^2tcos t
Ao integrar de 0 a 2pi, o termo com sin^2tcos t some, e ficamos com
ointpartial SFcdot dr =integral0^2pil(8sin^2t-4cos^2tr),dt =8pi-4pi=4pi

Passo 3

Calculamos o rotor de F:
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz 2y-z&x+y^2-z&4y-3x =(5),i+(2),j+(-1),k
Assim
nablatimesF=(5,,2,,-1)
é constante.

Passo 4

Para o hemisfério usamos coordenadas esféricas:
x=2sinphicostheta,; y=2sinphisintheta,; z=2cosphi,
com phiin[tfracpi2,pi], thetain[0,2pi]. A normal apontando para baixo coincide com a normal externa do raio 2, e
dS=4sinphi,dphi,dtheta, n=(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphi)
Então
(nablatimesF)cdotn =5sinphicostheta+2sinphisintheta-1cosphi,
e
integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =integral0^2pi!integralpi/2^pi l(5sinphicostheta+2sinphisintheta-cosphir),4sinphi,dphi,dtheta
Os termos com costheta e sintheta se anulam ao integrar em theta, restando
-4integral0^2pidthetaintegralpi/2^pisinphicosphi,dphi =-4cdot2picdotl[tfrac12sin^2phir]pi/2^pi =4pi

Passo 5

Obtivemos
ointpartial SFcdot dr=4pi e integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS=4pi,
logo o Teorema de Stokes está verificado.

Resposta

Ambos os lados do Teorema de Stokes valem 4pi.

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