- Usando separação de variáveis obtenha a solução geral da
, em seguida resolva o
- Usando a solução geral e superposição de soluções, resolva o
- Dado o problema da onda
usando a solução em Série de Fourier
uB(x, t)=sumn=1^infty betan sen(n pi xL) sen(n pi c tL)
mostre como obter a solução de D’Lambert
uB(x, t)=12 c integralx-c t^x+c t gI(u) d u
- Resolva os seguintes problemas de contorno pelo método da separação de variáveis de Fourier (Solução em Série de Fourier)
(a)
ut & =ux x, 0<x<100, t>0 u(0, t) & =u(100, t)=0 u(x, 0) & =x(100-x)
(b)
(a)
Passo 1
Na subquestão 5 temos a equação de transporte
com condição inicial
O conteúdo aqui é o método das características para PDE de primeira ordem.
Passo 2
Pelas características resolvemos o sistema
Da segunda igualdade vem
(esta combinação é constante) e da terceira igualdade
u é constante ao longo de cada curva de nível.
Passo 3
Logo a solução geral é
para alguma função
f . Usando
u(0,y)=8e^-3y obtemos
logo
Passo 4
Na subquestão 6 reaplicamos a mesma PDE
mas com condição inicial superposta
Já sabemos que a solução geral é
u(x,y)=f(y+4x) .
Passo 5
Impondo
u(0,y)=f(y)=8e^-3y+4e^-5y , segue por superposição que
Passo 6
Na subquestão 7 temos o problema de onda
cuja solução por séries de Fourier é
Passo 7
Diferenciando em
t e usando
ut(x,0)=g(x) obtemos
Multiplicando por
sin(tfracmpi xL) e integrando de
0 a
L dá
Passo 8
Substituindo
betan de volta na série obtemos a solução em séries. Para mostrar que isto equivale à forma de D’Alembert, usa-se a expansão de
g em série de senos e a identidade que soma
levando ao núcleo de Poisson, e chega-se a
Passo 9
Na subquestão 8(a) temos a equação do calor
Usamos separação de variáveis e série de Fourier em senos.
Passo 10
A solução assume a forma
Os coeficientes são
Passo 11
Na subquestão 8(b) temos a equação de onda
Aplicamos série de Fourier em senos.
Passo 12
Escrevemos
Passo 13
Das condições iniciais temos
,u(x,0)=sum Ansin(tfracnpi x2)=6sin(pi x)-3sin(4pi x)
eut(x,0)=sum Bn,omegansin(tfracnpi x2)=0 .
Isto dáA1=6 ,
A4=-3 e
Bn=0 para todo
n .
e
Isto dá