S é a superfície de silo definida pela união das superfícies S1 e S2, onde S1 é dada por
x^2+y^2=9, 0 <= z <= 8
e S2 é definida por
x^2+y^2+(z-8)^2=9, z >= 8
encontre integral duplaS(nabla times F) cdot d S, onde
F=(x^3+x z+y z^2) i+(x y z^3+y^7) j+x^2 z^5 k

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de nablatimes F através da superfície S=S1cup S2, onde S1 é o cilindro x^2+y^2=9, 0<= z<=8, e S2 é a hemisfera x^2+y^2+(z-8)^2=9, z>=8. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que afirma que, para uma superfície orientada S com bordo partial S, vale
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S ;=;ointpartial S Fcdot d r
Então precisamos achar partial S e calcular a linha de F ao longo dela.

Passo 2

A união S1cup S2 forma uma superfície cujo único bordo é a curva
partial S: x^2+y^2=9,;z=0,
isto é, o círculo de raio 3 no plano z=0. Vamos parametrizar essa curva para aplicar Stokes.

Passo 3

Parametrizamos partial S por
r(t) = l(3cos t,;3sin t,;0r), tin[0,2pi]
Então
d r = l(-3sin t,;3cos t,;0r),dt
Na curva temos z=0, logo
Fl(x,y,0r) =l(x^3,;y^7,;0r)
Em termos de t:
x=3cos t, y=3sin t Longrightarrow F( r(t)) =l(27cos^3 t,;2187sin^7 t,;0r)

Passo 4

O integrando para a linha é
Fl( r(t)r)cdot d r =27cos^3t,(-3sin t),dt +2187sin^7t,(3cos t),dt
Ou seja,
Fcdot d r =l(-81cos^3tsin t +6561sin^7tcos tr),dt
Agora integramos de 0 a 2pi: cada termo é integral de função ímpar de período 2pi, logo
ointpartial S Fcdot d r =integral0^2pi!(-81cos^3tsin t),dt +integral0^2pi!(6561sin^7tcos t),dt =0+0 =0

Resposta

integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =0

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