é a superfície de silo definida pela união das superfícies
e
, onde
é dada por
e
é definida por
encontre
, onde
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
, onde
é o cilindro
,
, e
é a hemisfera
,
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Stokes, que afirma que, para uma superfície orientada
com bordo
, vale
Então precisamos achar
e calcular a linha de
ao longo dela.
Passo 2
A união
forma uma superfície cujo único bordo é a curva
isto é, o círculo de raio
no plano
. Vamos parametrizar essa curva para aplicar Stokes.
Passo 3
Parametrizamos
por
Então
Na curva temos
, logo
Em termos de
:
Passo 4
O integrando para a linha é
Ou seja,
Agora integramos de
a
: cada termo é integral de função ímpar de período
, logo