Nos itens a baixo determine a ordem do elemento g e o subgrupo gerado por ele no grupo G em questão.
g=(cc0 & -1 -1 & 0) e G=G L2(R).

Passo 1

O enunciado pede, em G=GL2(R), a ordem do elemento
g = 0 & -1 -1 & 0
e o subgrupo lang<= grang<= gerado por ele. Vamos usar multiplicação de matrizes para achar a menor potência positiva de g que dá a identidade.

Passo 2

Calculamos g^2 pela definição de produto de matrizes:
g^2 = gcdot g = 0 & -1 -1 & 0 0 & -1 -1 & 0 = 0cdot0 + (-1)cdot(-1) & 0cdot(-1) + (-1)cdot0 (-1)cdot0 + 0cdot(-1) & (-1)cdot(-1) + 0cdot0 = 1 & 0 0 & 1

Passo 3

Como g^2 = I (identidade em GL2( R)) e gneq I, a ordem de g é o menor n>0 tal que g^n=I, logo
ord(g)=2

Passo 4

O subgrupo gerado por g é
lang<= grang<= = ,I,;g,
pois iterando potências de g obtemos apenas g^0=I e g^1=g, depois repete.

Resposta

A ordem de g é 2.
O subgrupo gerado por g é I,,g.

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