Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. y=\sqrt{x}, y=x^{2}, em torno do eixo y=1.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno de y=1 a região limitada pelas curvas \,y=\sqrt{x} (curva superior) e \,y=x^2 (curva inferior). Vamos usar o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação) em variáveis de x.
Passo 2
Primeiro encontramos os pontos de interseção de \sqrt{x} e x^2:
\sqrt{x} = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 0,\; x^4 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^3 - 1)=0
Logo x=0 e x=1. A região está em 0 \le x \le 1, com y_{\text{top}}=\sqrt{x} e y_{\text{bot}}=x^2.
Passo 3
Para cada x\in[0,1], a rotação gera um disco com “furo” (anel) de raio externo