Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=\sqrt{x}, y=x^{2}, em torno do eixo y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno de y=1 a região limitada pelas curvas \,y=\sqrt{x} (curva superior) e \,y=x^2 (curva inferior). Vamos usar o método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação) em variáveis de x.

Passo 2

Primeiro encontramos os pontos de interseção de \sqrt{x} e x^2:
\sqrt{x} = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 0,\; x^4 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^3 - 1)=0
Logo x=0 e x=1. A região está em 0 \le x \le 1, com y_{\text{top}}=\sqrt{x} e y_{\text{bot}}=x^2.

Passo 3

Para cada x\in[0,1], a rotação gera um disco com “furo” (anel) de raio externo
R(x) = \bigl|1 - y_{\text{bot}}\bigr| = 1 - x^2
e raio interno
r(x) = \bigl|1 - y_{\text{top}}\bigr| = 1 - \sqrt{x}.
O volume é
V = \int_{0}^{1} \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
R(x)^2 - r(x)^2 = (1 - x^2)^2 - (1 - \sqrt{x})^2 = \bigl(1 - 2x^2 + x^4\bigr) - \bigl(1 - 2\sqrt{x} + x\bigr) = 2\sqrt{x} - x - 2x^2 + x^4.
Portanto
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl(2x^{1/2} - x - 2x^2 + x^4\bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}2x^{1/2}\,dx = \frac{4}{3},\quad \int_{0}^{1}(-x)\,dx = -\tfrac12,\quad \int_{0}^{1}(-2x^2)\,dx = -\tfrac{2}{3},\quad \int_{0}^{1}x^4\,dx = \tfrac{1}{5}.
Somando:
\frac{4}{3} - \frac12 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{40 - 15 - 20 + 6}{30} = \frac{11}{30}.
Logo
V = \pi \cdot \frac{11}{30} = \frac{11\pi}{30}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{11\pi}{30}.

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