Nos itens que seguem, encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x^3, y=0, x=1 em torno do eixo y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido de revolução gerado ao girar a região limitada por y=x^3, y=0 e x=1 em torno da reta horizontal y=1. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução pelo método dos anéis (washers), e vamos precisar determinar os raios externo e interno em função de x e depois integrar de x=0 até x=1.

Passo 2

Para montar cada fatia típica, fixamos um x entre 0 e 1. Quando giramos em torno de y=1, temos:
Raios:
– Raio externo: distância de y=1 até a curva inferior y=0, ou seja
R(x)=1-0=1
– Raio interno: distância de y=1 até a curva superior y=x^3, ou seja
r(x)=1-x^3
O volume do sólido é dado por
V= integralx=0^1pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx =piintegral0^1l[1^2 - (1 - x^3)^2r]dx

Passo 3

Agora simplificamos o integrando e integramos:
1^2 - (1 - x^3)^2 = 1 - (1 - 2x^3 + x^6) = 2x^3 - x^6,
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V = piintegral0^1(2x^3 - x^6),dx = pil[2x^44 - x^77r]0^1 = pil(12 - 17r)
Fizemos a integral e chegamos a V=pi(tfrac12-tfrac17).

Resposta

V=tfrac5pi14

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