Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se forem dadas as condição iniciais, encontre também a solução que a satisfaz.
t^2 y^prime prime-3 t y^prime+4 t y=0

Passo 1

A equação dada é t^2y'' - 3t y' + 4t y = 0. Note que dividindo tudo por t (assumindo tneq0) temos

Passo 2

t y'' - 3y' + 4y = 0

Passo 3

Esta forma lembra bastante um problema de Euler–Cauchy após a mudança de variável x=ln t. Vamos fazer isso: seja x=ln t, então

Passo 4

dydt=1tdydx, d^2ydt^2=1t^2l(d^2ydx^2-dydxr)

Passo 5

Substituindo em t y'' -3y' +4y=0

Passo 6

tcdot1t^2l(yxx-yxr)-3cdot1tyx+4y=0 Longrightarrow yxx-yx-3yx+4y=0 Longrightarrow yxx-4yx+4y=0

Passo 7

Agora temos uma equação de coeficientes constantes em relação a x:

Passo 8

D^2y-4Dy+4y=0, D=ddx

Passo 9

A equação característica é

Passo 10

r^2-4r+4=0Longrightarrow(r-2)^2=0, raiz dupla r=2

Passo 11

Logo a solução geral em x é

Passo 12

y(x)=C1e^2x+C2xe^2x

Passo 13

Voltando a t=e^x, temos e^2x=t^2 e x=ln t. Assim

Passo 14

y(t)=C1t^2+C2t^2ln t

Resposta

A solução geral é y(t)=C1t^2+C2t^2ln t.

Exercícios relacionados