Seja f(x, y) de classe C^2 num aberto de R^2. Suponhamos que
z=f(u-2 v, v+2 u)
Determine
partial^2 zpartial u^2

Passo 1

O enunciado define
z(u,v)=fl(x(u,v),,y(u,v)r)
com fin C^2 e
x(u,v)=u-2v, y(u,v)=v+2u
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de x e y em relação a u:
xu=partialpartial u(u-2v)=1, yu=partialpartial u(v+2u)=2

Passo 3

Usando a regra da cadeia para a primeira derivada:
zu =partial fpartial x,xu +partial fpartial y,yu =fx(x,y)cdot1+fy(x,y)cdot2 =fx+2fy,
onde, para abreviar, fx e fy estão avaliados em l(x(u,v),y(u,v)r).

Passo 4

Agora derivamos zu em relação a u de novo:
zuu =partialpartial u(fx)+2,partialpartial u(fy) =l(fxx,xu+fxy,yur) +2l(fyx,xu+fyy,yur)
Aqui usamos que, por fin C^2, fxy=fyx.

Passo 5

Substituindo xu=1 e yu=2 e juntando termos:
zuu =fxxcdot1+fxycdot2 +2l(fxycdot1+fyycdot2r) =fxx+2fxy+2fxy+4fyy =fxx+4fxy+4fyy,
avaliados sempre em l(x(u,v),y(u,v)r)=(u-2v,;v+2u).

Resposta

partial^2 zpartial u^2 = fxx(u-2v,;v+2u) +4,fxy(u-2v,;v+2u) +4,fyy(u-2v,;v+2u)

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