Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se forem dadas as condição iniciais, encontre também a solução que a satisfaz.
y^prime prime+5 y^prime=0, y(0)=1, y^prime(0)=-1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 5y' = 0
e, em seguida, impor as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. O método envolve formar a equação característica e usar suas raízes para obter a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo em y''+5y'=0 dá a equação característica
r^2 + 5r = 0
Fatorando,
r(r + 5) = 0
Logo as raízes são r1 = 0 e r2 = -5. Assim a solução geral é
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-5x = C1 + C2 e^-5x

Passo 3

Calculamos a derivada e aplicamos as condições iniciais.
y'(x) = 0cdot C1 + C2(-5)e^-5x = -5C2 e^-5x
Em x=0:
y(0)=C1 + C2 = 1,
y'(0) = -5C2 = -1
Da segunda equação vem C2 = tfrac15. Substituindo na primeira,
C1 + tfrac15 = 1 Longrightarrow C1 = tfrac45

Passo 4

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = tfrac45 + tfrac15e^-5x

Resposta

y(x) = 45 + 15e^-5x

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