Use a razão an+1 / an para mostrar que a sequência an dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
9. n e^-nn=1^+infty

Passo 1

A sequência é dada por an = n e^-n e o objetivo é usar a razão an+1an para determinar se ela é crescente ou decrescente. Esse método consiste em calcular a razão entre termos consecutivos e verificar se ela é maior ou menor que 1.

Passo 2

Calculamos e simplificamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)e^-(n+1)n e^-n = l(1+tfrac1nr)e^-1

Passo 3

Para todo n>=1, temos 1+tfrac1n<=2 e sabemos que e>2. Logo combinando essas desigualdades:
l(1+tfrac1nr)e^-1 < 2e^-1 < 1

Passo 4

Como an+1an<1 para todo n, concluímos que a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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