Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left(\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} d t\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação de x da função
G(x)=\int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt.
As informações que temos são:
  • A variável de diferenciação é x.
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}.
  • O limite inferior da integral é constante 0 e o limite superior é a função x^{2}.
    A tarefa é calcular \dfrac{d}{dx}G(x).

Passo 2

Vamos usar duas ideias importantes (vou explicar cada uma de forma simples e com intuição):
  1. Teorema Fundamental do Cálculo (versão fácil): se F(u)=\displaystyle\int_{a}^{u} f(t)\,dt com f contínua, então
F'(u)=f(u).
Intuição: a integral acumulada cresce à taxa do integrando avaliado no ponto atual; se u aumenta um pouquinho, a área acrescentada é aproximadamente f(u) vezes o aumento.
  1. Regra da cadeia: se H(x)=F(\varphi(x)) então
H'(x)=F'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x).
Intuição: muda-se primeiro pelo efeito de \varphi sobre x, e depois pelo efeito de F sobre \varphi.
Antes de aplicar, verifique que o integrando t\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} é contínuo em toda a reta (denominador nunca é zero), logo o Teorema Fundamental do Cálculo se aplica.

Passo 3

Defino uma função auxiliar por
F(u)=\int_{0}^{u} \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F em relação a u é
F'(u)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+1}}.
Isto é direto: derivada da integral acumulada é o integrando avaliado no limite superior.

Passo 4

A nossa função original pode ser escrita como composição:
G(x)=F\bigl(x^{2}\bigr).
Agora aplicamos a regra da cadeia. Como \varphi(x)=x^{2} tem derivada \varphi'(x)=2x, obtemos
G'(x)=F'\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 5

Substituindo F' encontrado no Passo 3:
F'\bigl(x^{2}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{(x^{2})^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{4}+1}}.
Multiplicando por 2x (da regra da cadeia) dá
G'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^{4}+1}}.
Observação rápida: o denominador \sqrt{x^{4}+1} é sempre positivo, então a derivada está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

\dfrac{2x}{\sqrt{x^{4}+1}}

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