Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada em relação de
da função
As informações que temos são:
- A variável de diferenciação é
. - O integrando é
. - O limite inferior da integral é constante
e o limite superior é a função .
A tarefa é calcular.
Passo 2
Vamos usar duas ideias importantes (vou explicar cada uma de forma simples e com intuição):
- Teorema Fundamental do Cálculo (versão fácil): se
com contínua, então
Intuição: a integral acumulada cresce à taxa do integrando avaliado no ponto atual; se
aumenta um pouquinho, a área acrescentada é aproximadamente
vezes o aumento.
- Regra da cadeia: se
então
Intuição: muda-se primeiro pelo efeito de
sobre
, e depois pelo efeito de
sobre
.
Antes de aplicar, verifique que o integrando
é contínuo em toda a reta (denominador nunca é zero), logo o Teorema Fundamental do Cálculo se aplica.
Passo 3
Defino uma função auxiliar por
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
em relação a
é
Isto é direto: derivada da integral acumulada é o integrando avaliado no limite superior.
Passo 4
A nossa função original pode ser escrita como composição:
Agora aplicamos a regra da cadeia. Como
tem derivada
, obtemos
Passo 5
Substituindo
encontrado no Passo 3:
Multiplicando por
(da regra da cadeia) dá
Observação rápida: o denominador
é sempre positivo, então a derivada está bem definida para todo
.