Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left(\int_{-x}^{x} \frac{1}{3+t^{2}} d t\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede-se calcular a derivada em relação a x da função
F(x)=\int_{-x}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt.
  • Informação importante dada: o integrando é a função \displaystyle t\mapsto\frac{1}{3+t^{2}}.

Passo 2

Lembrete teórico (regra de diferenciação para integrais com limites dependentes de x).
Seja G(x)=\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt com a(x) e b(x) diferenciáveis e f contínua. A regra de Leibniz diz:
\frac{d}{dx}G(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Explicando: cada limite variável contribui com o valor do integrando naquele limite multiplicado pela derivada do limite; o sinal menos aparece porque o limite inferior tem efeito invertido.

Passo 3

Identificar as funções no nosso caso e aplicar a fórmula.
No nosso problema temos:
a(x)=-x,\qquad b(x)=x,\qquad f(t)=\frac{1}{3+t^{2}}.
Logo
a'(x)=-1,\qquad b'(x)=1.
Aplicando a regra de Leibniz:
\frac{d}{dx}\int_{-x}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt = f\big(b(x)\big)\cdot b'(x)-f\big(a(x)\big)\cdot a'(x) = f(x)\cdot 1 - f(-x)\cdot(-1).

Passo 4

Simplificar a expressão usando a paridade do integrando.
Calcule f(-x):
f(-x)=\frac{1}{3+(-x)^{2}}=\frac{1}{3+x^{2}}=f(x),
ou seja, f é par. Portanto, da expressão do Passo 3,
\frac{d}{dx}\int_{-x}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt = f(x)+f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x).
Substituindo f(x)=\dfrac{1}{3+x^{2}} resulta em
\frac{d}{dx}\int_{-x}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt = 2\cdot\frac{1}{3+x^{2}}=\frac{2}{3+x^{2}}.

Passo 5

Observação alternativa (vista como reforço didático): como o integrando é par, pode escrever
\int_{-x}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt=2\int_{0}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt,
e então aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter diretamente
\frac{d}{dx}\Big(2\int_{0}^{x}\frac{1}{3+t^{2}}\,dt\Big)=2\cdot\frac{1}{3+x^{2}}.
Isto confirma o resultado anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3+x^{2}}

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