Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede-se calcular a derivada em relação a
da função
- Informação importante dada: o integrando é a função
.
Passo 2
Lembrete teórico (regra de diferenciação para integrais com limites dependentes de
).
Seja com
e
diferenciáveis e
contínua. A regra de Leibniz diz:
Seja
Explicando: cada limite variável contribui com o valor do integrando naquele limite multiplicado pela derivada do limite; o sinal menos aparece porque o limite inferior tem efeito invertido.
Passo 3
Identificar as funções no nosso caso e aplicar a fórmula.
No nosso problema temos:
No nosso problema temos:
Logo
Aplicando a regra de Leibniz:
Passo 4
Simplificar a expressão usando a paridade do integrando.
Calcule :
Calcule
ou seja,
é par. Portanto, da expressão do Passo 3,
Substituindo
resulta em
Passo 5
Observação alternativa (vista como reforço didático): como o integrando é par, pode escrever
e então aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter diretamente
Isto confirma o resultado anterior.