Nos itens a seguir, calcule a derivada.
\frac{d}{d x}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{1+t^{4}} d t\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função definida por uma integral com limite inferior dependente de x. Mais precisamente:
  • O que é dado: a função dentro da integral é \sqrt{1+t^{4}} e a integral é tomada de t=x até t=3.
  • O que se pede: calcular \dfrac{d}{d x}\left(\displaystyle\int_{x}^{3} \sqrt{1+t^{4}}\,dt\right).

Passo 2

Entender a regra que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • Existe uma regra geral para derivar funções definidas por integrais com limites que dependem de x. Se tiver uma função contínua f e considerarmos
H(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, pela regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral (que é uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia),
H'(x)=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x).
  • O que cada símbolo significa:
    • f(t) é a função integranda (aqui f(t)=\sqrt{1+t^{4}}).
    • a(x) é o limite inferior da integral (aqui a(x)=x).
    • b(x) é o limite superior da integral (aqui b(x)=3, constante).
    • a'(x) e b'(x) são as derivadas desses limites em relação a x.
  • Intuição rápida: aumentar x muda o pedaço do eixo t que está sendo integrado. Se o limite superior varia, soma-se a contribuição local f naquele ponto multiplicada por quanto o limite varia; se o limite inferior varia, subtrai-se a contribuição local.

Passo 3

Identificar as partes do problema com os símbolos da regra:
  • A integranda é f(t)=\sqrt{1+t^{4}}.
  • O limite inferior é a(x)=x e, portanto, a'(x)=\dfrac{d}{dx}x=1.
  • O limite superior é b(x)=3 e, portanto, b'(x)=\dfrac{d}{dx}3=0.

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada para integrais com limites dependentes:
  • Pela fórmula,
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{1+t^{4}}\,dt\right) = \sqrt{1+b(x)^{4}}\cdot b'(x) - \sqrt{1+a(x)^{4}}\cdot a'(x).
  • Substituindo a(x)=x, b(x)=3, a'(x)=1 e b'(x)=0:
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{1+t^{4}}\,dt\right) = \sqrt{1+3^{4}}\cdot 0 - \sqrt{1+x^{4}}\cdot 1.

Passo 5

Calcular o resultado da substituição:
  • O primeiro termo é zero porque b'(x)=0.
  • O segundo termo fica simplesmente -\sqrt{1+x^{4}}.
  • Portanto:
\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{3} \sqrt{1+t^{4}}\,dt\right) = -\sqrt{1+x^{4}}.

Passo 6

Breve verificação intuitiva (sem usar antiderivada complicada):
  • Se definir H(x)=\int_{x}^{3} f(t)\,dt, então para um pequeno \Delta x tem-se
H(x+\Delta x)-H(x) = \int_{x+\Delta x}^{x} f(t)\,dt = -\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)\,dt \approx -f(x)\,\Delta x
quando \Delta x é pequeno (pela continuidade de f). Dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to0 H'(x)=-f(x). Isso confirma o resultado obtido.

Resposta

-\sqrt{1+x^{4}}

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