Nos itens a seguir, calcule a derivada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função definida por uma integral com limite inferior dependente de
. Mais precisamente:
- O que é dado: a função dentro da integral é
e a integral é tomada de até . - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Entender a regra que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Existe uma regra geral para derivar funções definidas por integrais com limites que dependem de
. Se tiver uma função contínua e considerarmos
então, pela regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral (que é uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia),
- O que cada símbolo significa:
-
é a função integranda (aqui ). -
é o limite inferior da integral (aqui ). -
é o limite superior da integral (aqui , constante). -
e são as derivadas desses limites em relação a .
-
- Intuição rápida: aumentar
muda o pedaço do eixo que está sendo integrado. Se o limite superior varia, soma-se a contribuição local naquele ponto multiplicada por quanto o limite varia; se o limite inferior varia, subtrai-se a contribuição local.
Passo 3
Identificar as partes do problema com os símbolos da regra:
- A integranda é
. - O limite inferior é
e, portanto, . - O limite superior é
e, portanto, .
Passo 4
Aplicar a fórmula da derivada para integrais com limites dependentes:
- Pela fórmula,
- Substituindo
, , e :
Passo 5
Calcular o resultado da substituição:
- O primeiro termo é zero porque
. - O segundo termo fica simplesmente
. - Portanto:
Passo 6
Breve verificação intuitiva (sem usar antiderivada complicada):
- Se definir
, então para um pequeno tem-se
quando
é pequeno (pela continuidade de
). Dividindo por
e fazendo
dá
. Isso confirma o resultado obtido.