Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes: a expressão é um logaritmo natural de uma razão envolvendo exponenciais . Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que foi dado e o que se pede.
Informações relevantes: a expressão é um logaritmo natural de uma razão envolvendo exponenciais
Passo 2
Primeira simplificação útil: usar a propriedade dos logaritmos
. Aplicando aqui obtemos
Isto facilita porque a derivada de
é simples: se
depende de
, então
onde
é a derivada de
em relação a
. Vou usar essa regra para cada termo.
Passo 3
Derivar o primeiro termo
. Aqui
. Primeiro calcule
: a derivada de
é
(regra:
). Assim
. Aplicando a regra do logaritmo,
Passo 4
Derivar o segundo termo
. Agora
. Tem-se
. Logo
Passo 5
Como
é a diferença dos dois logaritmos, a derivada é a diferença das derivadas:
Fatorando
fica
Colocando em um único quociente:
pois
. Portanto
Passo 6
Dar uma forma alternativa, útil para reconhecimento: dividindo numerador e denominador por
,
Reconhecendo a função hiperbólica
, obtemos também
Essas formas são equivalentes; escolha a que for mais prática na prova.