Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\ln \frac{e^{4 x}-1}{e^{4 x}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\frac{e^{4x}-1}{e^{4x}+1}
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a expressão é um logaritmo natural de uma razão envolvendo exponenciais e^{4x}. Não vou resolver nada ainda, só deixei claro o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Primeira simplificação útil: usar a propriedade dos logaritmos \ln\frac{A}{B}=\ln A-\ln B. Aplicando aqui obtemos
y=\ln\bigl(e^{4x}-1\bigr)-\ln\bigl(e^{4x}+1\bigr).
Isto facilita porque a derivada de \ln(u(x)) é simples: se u depende de x, então
\frac{d}{dx}\ln\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)},
onde u'(x) é a derivada de u em relação a x. Vou usar essa regra para cada termo.

Passo 3

Derivar o primeiro termo \ln\bigl(e^{4x}-1\bigr). Aqui u(x)=e^{4x}-1. Primeiro calcule u'(x): a derivada de e^{4x} é 4e^{4x} (regra: \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}). Assim u'(x)=4e^{4x}. Aplicando a regra do logaritmo,
\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^{4x}-1\bigr)=\frac{4e^{4x}}{e^{4x}-1}.

Passo 4

Derivar o segundo termo \ln\bigl(e^{4x}+1\bigr). Agora v(x)=e^{4x}+1. Tem-se v'(x)=4e^{4x}. Logo
\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^{4x}+1\bigr)=\frac{4e^{4x}}{e^{4x}+1}.

Passo 5

Como y é a diferença dos dois logaritmos, a derivada é a diferença das derivadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{4e^{4x}}{e^{4x}-1}-\frac{4e^{4x}}{e^{4x}+1}.
Fatorando 4e^{4x} fica
\frac{dy}{dx}=4e^{4x}\left(\frac{1}{e^{4x}-1}-\frac{1}{e^{4x}+1}\right).
Colocando em um único quociente:
\frac{1}{e^{4x}-1}-\frac{1}{e^{4x}+1}=\frac{e^{4x}+1-(e^{4x}-1)}{(e^{4x}-1)(e^{4x}+1)}=\frac{2}{e^{8x}-1},
pois (e^{4x}-1)(e^{4x}+1)=e^{8x}-1. Portanto
\frac{dy}{dx}=4e^{4x}\cdot\frac{2}{e^{8x}-1}=\frac{8e^{4x}}{e^{8x}-1}.

Passo 6

Dar uma forma alternativa, útil para reconhecimento: dividindo numerador e denominador por e^{4x},
\frac{8e^{4x}}{e^{8x}-1}=\frac{8}{e^{4x}-e^{-4x}}.
Reconhecendo a função hiperbólica \operatorname{sinh} t=\dfrac{e^{t}-e^{-t}}{2}, obtemos também
\frac{8}{e^{4x}-e^{-4x}}=\frac{4}{\operatorname{sinh}(4x)}.
Essas formas são equivalentes; escolha a que for mais prática na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{8e^{4x}}{e^{8x}-1}
\displaystyle \text{(formas equivalentes: }\frac{8}{e^{4x}-e^{-4x}}\text{ e }\frac{4}{\operatorname{sinh}(4x)}\text{)}

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