Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função
é o logaritmo natural de uma soma de exponenciais. - Não há mais dados; precisamos diferenciar essa expressão em relação a
.
Passo 2
Vamos usar uma técnica comum: identificar a função interna e aplicar a regra da cadeia. Defina
portanto
. A regra da cadeia para derivadas diz que, se
com
dependente de
, então
Explicando devagar: a derivada da função externa
em relação à sua entrada
é
. Como a entrada
depende de
, multiplicamos por a derivada de
em relação a
, que é
. Isso é a regra da cadeia.
Passo 3
Agora calcule
. Lembre que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando termo a termo:
Portanto
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula da regra da cadeia obtemos
Isso já é uma forma correta da derivada.
Passo 5
Podemos reconhecer e/ou simplificar essa expressão. Uma simplificação algébrica: multiplicando numerador e denominador por
(nota: isso é permitido porque
para todo
), obtemos
Outra forma conhecida é escrever essa razão como a função hiperbólica tangente; por definição
Assim a derivada também pode ser escrita como
.
Passo 6
Checagem rápida em um ponto fácil: para
a fórmula dá
o que bate com
. Isso dá confiança de que a expressão está correta.