Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\ln \left(e^{x}+e^{-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d y}{d x} quando y=\ln\!\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr).
Informações dadas:
  • A função y é o logaritmo natural de uma soma de exponenciais.
  • Não há mais dados; precisamos diferenciar essa expressão em relação a x.

Passo 2

Vamos usar uma técnica comum: identificar a função interna e aplicar a regra da cadeia. Defina
u(x)=e^{x}+e^{-x},
portanto y=\ln(u(x)). A regra da cadeia para derivadas diz que, se y=\ln(u) com u dependente de x, então
\frac{d y}{d x}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando devagar: a derivada da função externa \ln(\cdot) em relação à sua entrada u é 1/u. Como a entrada u depende de x, multiplicamos por a derivada de u em relação a x, que é u'(x). Isso é a regra da cadeia.

Passo 3

Agora calcule u'(x). Lembre que a derivada de e^{kx} em relação a x é k e^{kx}. Aplicando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=-e^{-x}.
Portanto
u'(x)=e^{x}-e^{-x}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula da regra da cadeia obtemos
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Isso já é uma forma correta da derivada.

Passo 5

Podemos reconhecer e/ou simplificar essa expressão. Uma simplificação algébrica: multiplicando numerador e denominador por e^{x} (nota: isso é permitido porque e^{x}>0 para todo x), obtemos
\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}.
Outra forma conhecida é escrever essa razão como a função hiperbólica tangente; por definição
\operatorname{tanh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Assim a derivada também pode ser escrita como \operatorname{tanh}(x).

Passo 6

Checagem rápida em um ponto fácil: para x=0 a fórmula dá
\frac{e^{0}-e^{0}}{e^{0}+e^{0}}=\frac{1-1}{1+1}=0,
o que bate com \operatorname{tanh}(0)=0. Isso dá confiança de que a expressão está correta.

Resposta

\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\operatorname{tanh}(x)

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