Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações relevantes: a expressão contém
, portanto estamos assumindo
(logaritmo natural só definido para argumentos positivos). O objetivo é encontrar a derivada de
em função de
.
Passo 2
Vamos usar uma identidade muito útil com exponencial e logaritmo. Para
e qualquer real
vale
Aplicando com
e
obtemos
Isso vale porque
quando
, e elevar à potência
dá o mesmo que multiplicar o expoente.
Passo 3
Substituindo essa simplificação em
temos
Usando a regra de potência para produtos de potências com mesma base (
),
Passo 4
Agora aplicamos a regra da derivada da potência (regra do expoente): para qualquer real
,
Essa regra é a ferramenta que precisamos para derivar
.
Passo 5
Aplicando a regra ao caso
,
Lembrete final: a expressão original exigia
, então a derivada encontrada vale para
. Mas a forma simplificada
é válida como expressão algébrica.