Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=x^{5} e^{-3 \ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} para a função
y = x^{5} e^{-3 \ln x}.
Informações relevantes: a expressão contém \ln x, portanto estamos assumindo x>0 (logaritmo natural só definido para argumentos positivos). O objetivo é encontrar a derivada de y em função de x.

Passo 2

Vamos usar uma identidade muito útil com exponencial e logaritmo. Para u>0 e qualquer real a vale
e^{a\ln u} = u^{a}.
Aplicando com u=x e a=-3 obtemos
e^{-3\ln x} = x^{-3}.
Isso vale porque e^{\ln x}=x quando x>0, e elevar à potência -3 dá o mesmo que multiplicar o expoente.

Passo 3

Substituindo essa simplificação em y temos
y = x^{5}\,x^{-3}.
Usando a regra de potência para produtos de potências com mesma base ( x^{a}x^{b}=x^{a+b}),
y = x^{5+(-3)} = x^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da derivada da potência (regra do expoente): para qualquer real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Essa regra é a ferramenta que precisamos para derivar y=x^{2}.

Passo 5

Aplicando a regra ao caso n=2,
\frac{dy}{dx} = 2 x^{2-1} = 2x.
Lembrete final: a expressão original exigia x>0, então a derivada encontrada vale para x>0. Mas a forma simplificada 2x é válida como expressão algébrica.

Resposta

2x

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