e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a função dentro do log absoluto é u(x)=\operatorname{cotg}3x-\operatorname{cosec}3x. A derivada será calculada quando u(x)\neq0 (pois o log está definido só aí).
Passo 2
Fórmula que vamos usar: se y=\ln|u(x)| com u(x)\neq0, então vale a regra (cadeia)
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação curta e intuitiva: \ln|u| cresce na mesma razão que \ln u com um fator u'(x) vindo da cadeia, e a derivada de \ln u é 1/u; por isso \dfrac{d}{dx}\ln|u|=\dfrac{u'}{u}.
Cancelando o fator \operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x) (válido quando esse fator é diferente de zero, que é exatamente a condição para o log estar definido), obtemos
\frac{dy}{dx}=3\operatorname{cosec}(3x).
Passo 8
Comentário final e lembrete prático: a derivada simplifica muito graças ao cancelamento. Lembre-se de que tudo vale apenas para x tais que \operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x)\neq0 (domínio do log).