Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\ln |\operatorname{cotg} 3 x-\operatorname{cosec} 3 x|

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\bigl|\operatorname{cotg}3x-\operatorname{cosec}3x\bigr|
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a função dentro do log absoluto é u(x)=\operatorname{cotg}3x-\operatorname{cosec}3x. A derivada será calculada quando u(x)\neq0 (pois o log está definido só aí).

Passo 2

Fórmula que vamos usar: se y=\ln|u(x)| com u(x)\neq0, então vale a regra (cadeia)
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação curta e intuitiva: \ln|u| cresce na mesma razão que \ln u com um fator u'(x) vindo da cadeia, e a derivada de \ln u é 1/u; por isso \dfrac{d}{dx}\ln|u|=\dfrac{u'}{u}.

Passo 3

Identificamos
u(x)=\operatorname{cotg}3x-\operatorname{cosec}3x.
Então precisamos calcular u'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg}3x\bigr)-\dfrac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cosec}3x\bigr).

Passo 4

Derivadas básicas de funções trigonométricas (regra da cadeia incluída): para uma função v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg}v(x)\bigr) = -\operatorname{cosec}^2v(x)\cdot v'(x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cosec}v(x)\bigr) = -\operatorname{cosec}v(x)\,\operatorname{cotg}v(x)\cdot v'(x).
Aqui v'(x) é a derivada do argumento v(x). Essas fórmulas vêm da definição de cotg e cosec em termos de seno e cosseno e do uso da regra da cadeia.

Passo 5

Aplicando as fórmulas com v(x)=3x (logo v'(x)=3):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cotg}3x\bigr) = -\operatorname{cosec}^2(3x)\cdot 3 = -3\operatorname{cosec}^2(3x),
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{cosec}3x\bigr) = -\operatorname{cosec}(3x)\,\operatorname{cotg}(3x)\cdot 3 = -3\operatorname{cosec}(3x)\,\operatorname{cotg}(3x).
Portanto
u'(x) = -3\operatorname{cosec}^2(3x) - \bigl(-3\operatorname{cosec}(3x)\,\operatorname{cotg}(3x)\bigr).

Passo 6

Simplificando u'(x):
u'(x) = -3\operatorname{cosec}^2(3x) + 3\operatorname{cosec}(3x)\,\operatorname{cotg}(3x).
Fatorando 3\operatorname{cosec}(3x):
u'(x) = 3\operatorname{cosec}(3x)\bigl(-\operatorname{cosec}(3x)+\operatorname{cotg}(3x)\bigr) =3\operatorname{cosec}(3x)\bigl(\operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x)\bigr).

Passo 7

Agora usamos a fórmula do Passo 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{3\operatorname{cosec}(3x)\bigl(\operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x)\bigr)}{\operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x)}.
Cancelando o fator \operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x) (válido quando esse fator é diferente de zero, que é exatamente a condição para o log estar definido), obtemos
\frac{dy}{dx}=3\operatorname{cosec}(3x).

Passo 8

Comentário final e lembrete prático: a derivada simplifica muito graças ao cancelamento. Lembre-se de que tudo vale apenas para x tais que \operatorname{cotg}(3x)-\operatorname{cosec}(3x)\neq0 (domínio do log).

Resposta

3\operatorname{cosec}(3x)

Exercícios relacionados