Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\ln \left|\frac{3 x}{x^{2}+4}\right|

Passo 1

O enunciado dá a função y=\ln\left|\dfrac{3x}{x^{2}+4}\right| e pede para calcular \dfrac{dy}{dx}. Informações relevantes:
  • A função está escrita com um logaritmo natural de valor absoluto.
  • O denominador x^{2}+4 é sempre positivo para todo x.
  • O numerador 3x é zero em x=0, então a expressão dentro do valor absoluto é nula em x=0; portanto a função está definida para x\neq0.
    O que precisamos encontrar: a expressão da derivada \dfrac{dy}{dx} válida no domínio da função.

Passo 2

Estratégia: usar a propriedade dos logaritmos para simplificar antes de derivar.
Recordando uma propriedade básica:
\ln\left|\frac{A}{B}\right|=\ln|A|-\ln|B|.
Aplicando à nossa função:
y=\ln\left|\frac{3x}{x^{2}+4}\right|=\ln|3x|-\ln|x^{2}+4|.
Isso é útil porque a derivada de uma diferença é a diferença das derivadas, e a derivada de \ln|u| tem fórmula simples.

Passo 3

Lembrete da regra de derivação que vamos usar (é fundamental e muito útil na prova):
Para uma função composta y=\ln|u(x)|, onde u(x) é diferenciável e u(x)\neq0, vale
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: é a regra da cadeia aplicada ao logaritmo. Primeiro derivamos \ln|u| em relação a u, que dá 1/u, e depois multiplicamos por u'(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula à primeira parcela \ln|3x|.
Aqui u(x)=3x, então u'(x)=3. Assim
\frac{d}{dx}\ln|3x|=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x},
válido para x\neq0. Observação: esse resultado também pode ser visto lembrando que \ln|3x|=\ln3+\ln|x|, cuja derivada é 0+1/x.

Passo 5

Aplicando a fórmula à segunda parcela \ln|x^{2}+4|.
Aqui u(x)=x^{2}+4, então u'(x)=2x. Como x^{2}+4>0 para todo x, podemos escrever diretamente
\frac{d}{dx}\ln|x^{2}+4|=\frac{2x}{x^{2}+4}.

Passo 6

Agora juntamos as duas derivadas, lembrando que y=\ln|3x|-\ln|x^{2}+4|. Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}+4}.
Essa é uma forma correta da derivada, mas dá para simplificar racionalmente para ficar mais compacto.

Passo 7

Fazer a simplificação algébrica. Colocando sobre denominador comum x(x^{2}+4):
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}+4} =\frac{(x^{2}+4)-2x^{2}}{x(x^{2}+4)} =\frac{4-x^{2}}{x(x^{2}+4)}.
Também se pode escrever \dfrac{4-x^{2}}{x^{3}+4x}, mas a forma \dfrac{4-x^{2}}{x(x^{2}+4)} deixa claro o domínio.

Passo 8

Domínio da derivada: a expressão final é válida para x\neq0 (pois em x=0 a função original não está definida). O denominador x^{2}+4 nunca zera, então não impõe restrição adicional.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4-x^{2}}{x(x^{2}+4)},\quad x\neq0

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