Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
em relação a
para a função dada:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o logaritmo natural do valor absoluto de
. - O valor dentro do logaritmo é
, que pode ser positivo, negativo ou zero. - Onde
(isto é, ) a função não está definida, então a derivada só pode existir para .
Passo 2
Vamos lembrar e demonstrar a regra que vamos usar: a derivada de
em relação a
é
para
.
Explicação didática e motivo:
- Se
então e a regra conhecida diz que
- Se
então . Aplicando a regra e a cadeia:
- Portanto, em ambos os casos (exceto quando
) vale
Isto é uma versão da regra do logaritmo combinada com a regra da cadeia.
Passo 3
Aplicando a regra acima ao nosso problema: identifique
. Então a fórmula diz que
desde que
.
Passo 4
Calcule
. Use a regra do poder: para
, a derivada é
. Aqui:
A constante
tem derivada
. Portanto
Passo 5
Substitua
e
na expressão da derivada:
válido para
.
Passo 6
Comentário final e observação sobre domínio (útil na prova):
- A expressão
dá a derivada para todos os tais que . - A única raiz de
no conjunto dos reais é , então a derivada está definida para todos os . - Não há cancelamento possível entre numerador e denominador que remova a singularidade em
.