Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\ln \left|x^{3}+1\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y em relação a x para a função dada:
y=\ln\left|x^{3}+1\right|.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o logaritmo natural do valor absoluto de x^{3}+1.
  • O valor dentro do logaritmo é x^{3}+1, que pode ser positivo, negativo ou zero.
  • Onde x^{3}+1=0 (isto é, x=-1) a função não está definida, então a derivada só pode existir para x\neq -1.

Passo 2

Vamos lembrar e demonstrar a regra que vamos usar: a derivada de \ln|u(x)| em relação a x é \dfrac{u'(x)}{u(x)} para u(x)\neq0.
Explicação didática e motivo:
  • Se u(x)>0 então \ln|u(x)|=\ln(u(x)) e a regra conhecida diz que
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Se u(x)<0 então \ln|u(x)|=\ln(-u(x)). Aplicando a regra e a cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(-u(x))=\frac{(-u(x))'}{-u(x)}=\frac{-u'(x)}{-u(x)}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
  • Portanto, em ambos os casos (exceto quando u(x)=0) vale
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto é uma versão da regra do logaritmo combinada com a regra da cadeia.

Passo 3

Aplicando a regra acima ao nosso problema: identifique u(x)=x^{3}+1. Então a fórmula diz que
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{(x^{3}+1)'}{x^{3}+1},
desde que x^{3}+1\neq0.

Passo 4

Calcule u'(x). Use a regra do poder: para x^{n}, a derivada é n x^{n-1}. Aqui:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
A constante 1 tem derivada 0. Portanto
(x^{3}+1)'=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 5

Substitua u'(x)=3x^{2} e u(x)=x^{3}+1 na expressão da derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1},
válido para x^{3}+1\neq0.

Passo 6

Comentário final e observação sobre domínio (útil na prova):
  • A expressão \dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1} dá a derivada para todos os x tais que x^{3}+1\neq0.
  • A única raiz de x^{3}+1 no conjunto dos reais é x=-1, então a derivada está definida para todos os x\neq -1.
  • Não há cancelamento possível entre numerador e denominador que remova a singularidade em x=-1.

Resposta

\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1} (para x\neq -1)

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