Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\ln \left|x^{2}-1\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d y}{d x} quando
y=\ln\left|x^{2}-1\right|.
Informações relevantes dadas:
  • A função é o logaritmo natural do valor absoluto de x^{2}-1.
  • O argumento do logaritmo é x^{2}-1, que se anula em x=\pm 1.
  • É preciso obter a derivada em termos de x (e indicar onde ela existe).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): se u=u(x) é uma função diferenciável e u(x)\neq 0, então vale
\frac{d}{dx}\ln\!\left|u(x)\right|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando por que essa fórmula é verdadeira, passo a passo:
  • Para u(x)>0 temos \ln|u(x)|=\ln(u(x)). A derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}. Pela regra da cadeia (ver Passo 3), a derivada em relação a x fica \dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Para u(x)<0 temos \ln|u(x)|=\ln(-u(x)). A derivada de \ln(-u) em relação a x é \dfrac{1}{-u(x)}\cdot(-u'(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Em ambos os casos a expressão final é a mesma: \dfrac{u'(x)}{u(x)}. A fórmula só exige u(x)\neq 0 porque \ln|u| não está definida em u=0.

Passo 3

Breve aula sobre a regra da cadeia (útil aqui): se f(t) é diferenciável em t=g(x) e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
  • Aqui f é o logaritmo (ou o logaritmo aplicado a - quando necessário) e g(x)=u(x).
  • No caso de \ln(u(x)), tem-se f'(t)=1/t e portanto a derivada é (1/u(x))\cdot u'(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema: identifique
u(x)=x^{2}-1.
Calcule a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr)=2x.
Expliquei o cálculo: a derivada de x^{2} é 2x (regra potência) e a derivada de uma constante ( -1) é 0.

Passo 5

Agora use a fórmula do Passo 2:
\frac{d y}{d x}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}-1},
mantendo a condição x^{2}-1\neq 0, ou seja, x\neq \pm 1. Isso significa que a derivada existe para todos os x reais exceto x=1 e x=-1, onde y não está definida.

Passo 6

Pequenos exemplos para fixar:
  • Em x=2:
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2}=\frac{2\cdot 2}{2^{2}-1}=\frac{4}{3}.
  • Em x=0:
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}=\frac{2\cdot 0}{0^{2}-1}=0.
Esses exemplos mostram como aplicar a fórmula rapidamente na prova.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^{2}-1},\quad x\neq \pm 1

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