Explicando por que essa fórmula é verdadeira, passo a passo:
Para u(x)>0 temos \ln|u(x)|=\ln(u(x)). A derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}. Pela regra da cadeia (ver Passo 3), a derivada em relação a x fica \dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Para u(x)<0 temos \ln|u(x)|=\ln(-u(x)). A derivada de \ln(-u) em relação a x é \dfrac{1}{-u(x)}\cdot(-u'(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Em ambos os casos a expressão final é a mesma: \dfrac{u'(x)}{u(x)}. A fórmula só exige u(x)\neq 0 porque \ln|u| não está definida em u=0.
Passo 3
Breve aula sobre a regra da cadeia (útil aqui): se f(t) é diferenciável em t=g(x) e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui f é o logaritmo (ou o logaritmo aplicado a - quando necessário) e g(x)=u(x).
No caso de \ln(u(x)), tem-se f'(t)=1/t e portanto a derivada é (1/u(x))\cdot u'(x).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema: identifique
u(x)=x^{2}-1.
Calcule a derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr)=2x.
Expliquei o cálculo: a derivada de x^{2} é 2x (regra potência) e a derivada de uma constante (-1) é 0.
mantendo a condição x^{2}-1\neq 0, ou seja, x\neq \pm 1. Isso significa que a derivada existe para todos os x reais exceto x=1 e x=-1, onde y não está definida.