Nos itens a seguir, calcule \frac{d y}{d x}.
y=\operatorname{sec} e^{2 x}+e^{2 \operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d y}{d x} quando
y=\operatorname{sec} e^{2 x}+e^{2 \operatorname{sec} x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é soma de duas parcelas: a primeira é \operatorname{sec}\big(e^{2x}\big) e a segunda é e^{2\operatorname{sec} x}.
  • O objetivo é obter a derivada total \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Regra da cadeia (explicação): se h(x)=F(G(x)), então a derivada é
h'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Aqui G(x) é a função interna e F é a função externa. A ideia é derivar primeiro a externa em função da interna e depois multiplicar pela derivada da interna.
  • Derivada da função secante: para F(u)=\operatorname{sec} u,
\frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\cdot\tan u.
Significado: quando a variável é u, a derivada da secante é \operatorname{sec} u\tan u.
  • Derivada da função exponencial composta: para F(u)=e^{u},
\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
Aplicando a cadeia, se u=G(x) então \dfrac{d}{dx}e^{G(x)}=e^{G(x)}\cdot G'(x).
  • Derivada de e^{2x}: como e^{2x}=e^{u} com u=2x, tem-se
\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot\frac{d}{dx}(2x)=2e^{2x}.
  • Derivada de \operatorname{sec} x: pela regra acima,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\cdot\tan x.
Essas são as ferramentas que vamos aplicar termo a termo.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \operatorname{sec}\big(e^{2x}\big).
  • Identificar interna e externa:
    • Função externa F(u)=\operatorname{sec} u.
    • Função interna u(x)=e^{2x}.
  • Aplicar a regra da cadeia:
    \frac{d}{dx}\operatorname{sec}\big(e^{2x}\big)=\left(\frac{d}{du}\operatorname{sec} u\right)_{u=e^{2x}}\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big).
  • Usar \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u e \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}. Substituindo:
    \frac{d}{dx}\operatorname{sec}\big(e^{2x}\big)=\operatorname{sec}\big(e^{2x}\big)\tan\big(e^{2x}\big)\cdot 2e^{2x}.
  • Podemos escrever essa derivada em ordem mais legível:
    \frac{d}{dx}\operatorname{sec}\big(e^{2x}\big)=2e^{2x}\,\operatorname{sec}\big(e^{2x}\big)\tan\big(e^{2x}\big).

Passo 4

Derivada da segunda parcela e^{2\operatorname{sec} x}.
  • Identificar externa e interna (agora a exponencial é a externa):
    • Função externa F(v)=e^{v}.
    • Função interna v(x)=2\operatorname{sec} x.
  • Aplicar a regra da cadeia:
    \frac{d}{dx}e^{2\operatorname{sec} x}=e^{2\operatorname{sec} x}\cdot\frac{d}{dx}\big(2\operatorname{sec} x\big).
  • Calcular \dfrac{d}{dx}\big(2\operatorname{sec} x\big). A constante 2 sai como fator:
    \frac{d}{dx}\big(2\operatorname{sec} x\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=2\cdot\big(\operatorname{sec} x\tan x\big)=2\operatorname{sec} x\tan x.
  • Substituindo de volta:
    \frac{d}{dx}e^{2\operatorname{sec} x}=e^{2\operatorname{sec} x}\cdot\big(2\operatorname{sec} x\tan x\big).
  • Escrevendo de forma mais clara:
    \frac{d}{dx}e^{2\operatorname{sec} x}=2\operatorname{sec} x\tan x\;e^{2\operatorname{sec} x}.

Passo 5

A derivada total \dfrac{d y}{d x} é a soma das derivadas dos dois termos calculados nos passos anteriores. Agora só resta escrever essa soma final.

Resposta

\frac{d y}{d x}=2e^{2x}\,\operatorname{sec}\big(e^{2x}\big)\tan\big(e^{2x}\big)+2\operatorname{sec} x\tan x\;e^{2\operatorname{sec} x}

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