Nos itens a seguir, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
Informações relevantes dadas:
- A função é soma de duas parcelas: a primeira é
e a segunda é . - O objetivo é obter a derivada total
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (aula rápida e prática).
- Regra da cadeia (explicação): se
, então a derivada é
Aqui
é a função interna e
é a função externa. A ideia é derivar primeiro a externa em função da interna e depois multiplicar pela derivada da interna.
- Derivada da função secante: para
,
Significado: quando a variável é
, a derivada da secante é
.
- Derivada da função exponencial composta: para
,
Aplicando a cadeia, se
então
.
- Derivada de
: como com , tem-se
- Derivada de
: pela regra acima,
Essas são as ferramentas que vamos aplicar termo a termo.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
-
Identificar interna e externa:
- Função externa
. - Função interna
.
- Função externa
-
Aplicar a regra da cadeia:
-
Usar
e . Substituindo: -
Podemos escrever essa derivada em ordem mais legível:
Passo 4
Derivada da segunda parcela
.
-
Identificar externa e interna (agora a exponencial é a externa):
- Função externa
. - Função interna
.
- Função externa
-
Aplicar a regra da cadeia:
-
Calcular
. A constante sai como fator: -
Substituindo de volta:
-
Escrevendo de forma mais clara:
Passo 5
A derivada total
é a soma das derivadas dos dois termos calculados nos passos anteriores. Agora só resta escrever essa soma final.