Nos itens a seguir, faça um esboço do gráfico usando aplicações da derivada.
y=|\ln (x)|

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função |\ln(x)| usando aplicações da derivada. As informações do problema são:
  • A função é y=|\ln(x)|.
  • A função só está definida para x>0 (porque \ln(x) existe apenas para x>0).
  • Objetivo: estudar monotonicidade, extremos, concavidade e comportamento em extremos do domínio para construir o esboço.

Passo 2

Identificar uma expressão mais simples (peça por peça) para trabalhar. A função valor absoluto pode ser escrita em duas partes dependendo do sinal de [\ln(x)):
  • Se \ln(x)\ge0 isto é para x\ge1, então |\ln(x)|=\ln(x).
  • Se \ln(x)<0 isto é para 0<x<1, então |\ln(x)|=-\ln(x).
Portanto a função é
y=\begin{cases} -\ln(x), & 0<x<1,\\[4pt] \ln(x), & x\ge1. \end{cases}
Isto já é uma informação importante para o esboço: trabalhar com duas ramas contínuas que se encontram em (x=1].]

Passo 3

Vamos calcular a derivada em cada ramo. Lembrete rápido: a derivada de \ln(x) é \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x} para x>0. Isso vem da definição e das propriedades do logaritmo; aceitamos isso como fórmula básica.
Derivando cada ramo:
  • Para 0<x<1: y=-\ln(x) então
y'=-\frac{1}{x}.
  • Para x>1: y=\ln(x) então
y'=\frac{1}{x}.
Observação: as fórmulas acima valem somente em seus respectivos intervalos abertos.

Passo 4

Estudar o sinal da derivada para determinar monotonicidade.
  • Em 0<x<1: tem-se y'=-\dfrac{1}{x}. Como x>0, tem-se -\dfrac{1}{x}<0. Logo a função é estritamente decrescente em (0,1).
  • Em x>1: tem-se y'=\dfrac{1}{x}>0. Logo a função é estritamente crescente em (1,\infty).
Conclusão imediata: a função decresce até x=1 e cresce após x=1. Portanto x=1 é um ponto mínimo global (o menor valor de y no domínio).

Passo 5

Verificar continuidade e diferenciabilidade em x=1.
  • Continuidade: \lim_{x\to1^-}|\ln(x)|=\lim_{x\to1^-}-\ln(x)=0 e \lim_{x\to1^+}|\ln(x)|=\lim_{x\to1^+}\ln(x)=0. Como y(1)=|\ln(1)|=0, a função é contínua em x=1.
  • Diferenciabilidade: a derivada à esquerda em x=1 é
y'_-(1)=\lim_{x\to1^-}-\frac{1}{x}=-1,
e a derivada à direita em x=1 é
y'_+(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x}=1.
Como y'_-(1)\neq y'_+(1), a função não é diferenciável em x=1. Portanto há um canto (cúspide angular) no ponto (1,0). Apesar disso, x=1 é um mínimo (decrescente antes, crescente depois).

Passo 6

Estudar a segunda derivada e a concavidade em cada ramo (para entender a curva e o esboço).
  • Para 0<x<1: y'=-\dfrac{1}{x}. Derivando,
y''=\frac{1}{x^{2}}>0 \quad\text{em }(0,1).
Logo a função é côncava para cima (convexa) em (0,1).
  • Para x>1: y'=\dfrac{1}{x}. Derivando,
y''=-\frac{1}{x^{2}}<0 \quad\text{em }(1,\infty).
Logo a função é côncava para baixo em (1,\infty).
Há mudança de concavidade em x=1 (de côncava para cima para côncava para baixo), o que caracteriza um ponto de inflexão em termos geométricos — embora aqui a segunda derivada não esteja definida em x=1, a concavidade muda de sinal.

Passo 7

Estudar limites nas extremidades do domínio para entender assíntotas e comportamento nas bordas.
  • Limite quando x\to0^+:
\lim_{x\to0^+}|\ln(x)|=\lim_{x\to0^+}-\ln(x)=+\infty.
Isso significa que existe uma “assíntota vertical” em x=0: a curva sobe para +\infty quando se aproxima de 0 pela direita.
  • Limite quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}|\ln(x)|=\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty.
A função também tende para +\infty quando x cresce sem limite, mas lentamente (sem assíntota horizontal).

Passo 8

Pontos notáveis e valores para marcar no esboço (valores numéricos simples que ajudam a desenhar):
  • Ponto mínimo: (1,0).
  • Alguns pontos de referência (pegados por cálculo direto):
    • Para x=\tfrac{1}{2}: \ln(\tfrac{1}{2})=-\ln(2) então |\ln(\tfrac{1}{2})|=\ln(2)\approx0,693.
    • Para x=\tfrac{1}{10}: |\ln(\tfrac{1}{10})|=\ln(10)\approx2,303.
    • Para x=e: |\ln(e)|=\ln(e)=1 (logo (e,1) é ponto simples).
    • Para x=e^{2}: |\ln(e^{2})|=2.
Esses pontos mostram a subida alta quando x se aproxima de 0 e o crescimento lento quando x cresce.

Passo 9

Rascunho mental do esboço e instruções práticas para desenhar (transformar a análise em traço no papel):
  • Trace o eixo x (apenas para x>0) e o eixo y.
  • Desenhe uma assíntota vertical em x=0 (ou simplesmente faça a curva subir muito rápido à esquerda do gráfico).
  • No intervalo 0<x<1: desenhe uma curva que começa muito alta à esquerda (próxima a x=0), vai descendo, é côncava para cima e atinge (1,0). Use os pontos (\tfrac{1}{10},\ln(10)) e (\tfrac{1}{2},\ln(2)) para posicionar a curva.
  • Em x=1: marque o ponto (1,0). Faça um canto (ângulo) ali, com inclinação à esquerda aproximando-se de -1 e à direita aproximando-se de +1.
  • Para x>1: desenhe uma curva que sai de (1,0), é crescente e côncava para baixo, subindo lentamente para +\infty. Marque (e,1) como referência.
  • Não há intercepto com o eixo y (função não definida em x=0); o único intercepto com o eixo x é x=1.

Passo 10

Resumo dos aspectos-chave para lembrar na prova (rápido joguinho de memorização):
  • Domínio: x>0.
  • Expressão peça a peça: |\ln(x)|=-\ln(x) em (0,1), |\ln(x)|=\ln(x) em [1,\infty).
  • Monotonicidade: decrescente em (0,1), crescente em (1,\infty).
  • Extremo: mínimo global em (1,0).
  • Diferenciabilidade: não diferenciável em x=1 (canto), derivadas laterais -1 e +1.
  • Concavidade: côncava para cima em (0,1), côncava para baixo em (1,\infty).
  • Limites: \lim_{x\to0^+}|\ln(x)|=+\infty, \lim_{x\to+\infty}|\ln(x)|=+\infty.

Resposta

Esboço: para x>0 a função é |\ln(x)|=-\ln(x) em (0,1) (decrescente e côncava para cima, diverge para +\infty quando x\to0^+) e |\ln(x)|=\ln(x) em [1,\infty) (crescente e côncava para baixo, cresce para +\infty quando x\to\infty); ponto mínimo global em (1,0) com canto (derivadas laterais -1 e +1).

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