Nos itens a seguir, faça um esboço do gráfico usando aplicações da derivada.
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
usando aplicações da derivada. As informações do problema são:
- A função é
. - A função só está definida para
(porque existe apenas para ). - Objetivo: estudar monotonicidade, extremos, concavidade e comportamento em extremos do domínio para construir o esboço.
Passo 2
Identificar uma expressão mais simples (peça por peça) para trabalhar. A função valor absoluto pode ser escrita em duas partes dependendo do sinal de [\ln(x)):
- Se
isto é para , então . - Se
isto é para , então .
Portanto a função é
Isto já é uma informação importante para o esboço: trabalhar com duas ramas contínuas que se encontram em (x=1].]
Passo 3
Vamos calcular a derivada em cada ramo. Lembrete rápido: a derivada de
é
para
. Isso vem da definição e das propriedades do logaritmo; aceitamos isso como fórmula básica.
Derivando cada ramo:
- Para
: então
- Para
: então
Observação: as fórmulas acima valem somente em seus respectivos intervalos abertos.
Passo 4
Estudar o sinal da derivada para determinar monotonicidade.
- Em
: tem-se . Como , tem-se . Logo a função é estritamente decrescente em . - Em
: tem-se . Logo a função é estritamente crescente em .
Conclusão imediata: a função decresce até
e cresce após
. Portanto
é um ponto mínimo global (o menor valor de
no domínio).
Passo 5
Verificar continuidade e diferenciabilidade em
.
- Continuidade:
e . Como , a função é contínua em . - Diferenciabilidade: a derivada à esquerda em
é
e a derivada à direita em
é
Como
, a função não é diferenciável em
. Portanto há um canto (cúspide angular) no ponto
. Apesar disso,
é um mínimo (decrescente antes, crescente depois).
Passo 6
Estudar a segunda derivada e a concavidade em cada ramo (para entender a curva e o esboço).
- Para
: . Derivando,
Logo a função é côncava para cima (convexa) em
.
- Para
: . Derivando,
Logo a função é côncava para baixo em
.
Há mudança de concavidade em
(de côncava para cima para côncava para baixo), o que caracteriza um ponto de inflexão em termos geométricos — embora aqui a segunda derivada não esteja definida em
, a concavidade muda de sinal.
Passo 7
Estudar limites nas extremidades do domínio para entender assíntotas e comportamento nas bordas.
- Limite quando
:
Isso significa que existe uma “assíntota vertical” em
: a curva sobe para
quando se aproxima de
pela direita.
- Limite quando
:
A função também tende para
quando
cresce sem limite, mas lentamente (sem assíntota horizontal).
Passo 8
Pontos notáveis e valores para marcar no esboço (valores numéricos simples que ajudam a desenhar):
- Ponto mínimo:
. - Alguns pontos de referência (pegados por cálculo direto):
- Para
: então . - Para
: . - Para
: (logo é ponto simples). - Para
: .
- Para
Esses pontos mostram a subida alta quando
se aproxima de
e o crescimento lento quando
cresce.
Passo 9
Rascunho mental do esboço e instruções práticas para desenhar (transformar a análise em traço no papel):
- Trace o eixo
(apenas para ) e o eixo . - Desenhe uma assíntota vertical em
(ou simplesmente faça a curva subir muito rápido à esquerda do gráfico). - No intervalo
: desenhe uma curva que começa muito alta à esquerda (próxima a ), vai descendo, é côncava para cima e atinge . Use os pontos e para posicionar a curva. - Em
: marque o ponto . Faça um canto (ângulo) ali, com inclinação à esquerda aproximando-se de e à direita aproximando-se de . - Para
: desenhe uma curva que sai de , é crescente e côncava para baixo, subindo lentamente para . Marque como referência. - Não há intercepto com o eixo
(função não definida em ); o único intercepto com o eixo é .
Passo 10
Resumo dos aspectos-chave para lembrar na prova (rápido joguinho de memorização):
- Domínio:
. - Expressão peça a peça:
em , em . - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em . - Extremo: mínimo global em
. - Diferenciabilidade: não diferenciável em
(canto), derivadas laterais e . - Concavidade: côncava para cima em
, côncava para baixo em . - Limites:
, .
Resposta
Esboço: para
a função é
em
(decrescente e côncava para cima, diverge para
quando
) e
em
(crescente e côncava para baixo, cresce para
quando
); ponto mínimo global em
com canto (derivadas laterais
e
).