Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{1}^{5} \frac{4 z^{3}-1}{2 z-1} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{5} \frac{4 z^{3}-1}{2 z-1}\,dz.
Informações dadas e observações imediatas (pegar destas expressões):
  • O integrando é a função racional \dfrac{4 z^{3}-1}{2 z-1}.
  • O intervalo de integração é de z=1 até z=5.
  • O polinômio do numerador tem grau 3 e o do denominador tem grau 1.

Passo 2

Por causa da diferença de graus (numerador de grau maior que o denominador) é conveniente fazer uma divisão polinomial para escrever a razão como soma de um polinômio (mais fácil de integrar) e uma fração própria. Vou dividir 4 z^{3}-1 por 2 z-1 passo a passo.
Fazendo a divisão longa:
\frac{4 z^{3}-1}{2 z-1} = 2 z^{2} + z + \tfrac{1}{2} + \frac{R(z)}{2 z-1},
onde R(z) é o resto. Vamos calcular os termos da divisão:
  • Primeiro termo: dividir 4 z^{3} por 2 z 2 z^{2}. Multiplicando de volta: (2 z-1)\cdot 2 z^{2} = 4 z^{3} - 2 z^{2}.Subtraindo, obtemos o resto parcial 2 z^{2} + 0 z -1.
  • Segundo termo: dividir 2 z^{2} por 2 z z. Multiplicando: (2 z-1)\cdot z = 2 z^{2} - z.Subtraindo, o resto passa a ser z - 1.
  • Terceiro termo: dividir z por 2 z \tfrac{1}{2}. Multiplicando: (2 z-1)\cdot \tfrac{1}{2} = z - \tfrac{1}{2}.Subtraindo, o resto final é -1 + \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Portanto o resto R(z) = -\tfrac{1}{2} (constante) e a divisão completa é
\frac{4 z^{3}-1}{2 z-1} = 2 z^{2} + z + \tfrac{1}{2} - \frac{1/2}{2 z-1}.

Passo 3

Reescrevo a integral usando a decomposição obtida:
\int_{1}^{5} \frac{4 z^{3}-1}{2 z-1}\,dz = \int_{1}^{5} \left(2 z^{2} + z + \tfrac{1}{2} - \frac{1/2}{2 z-1}\right)dz.
Agora vamos integrar termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
  • Para n\neq -1: \displaystyle \int z^{n}\,dz = \frac{z^{n+1}}{n+1} + C.
  • Para constante a: \displaystyle \int a\,dz = a z + C.
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{a z+b}\,dz, usar substituição u=a z+b, então o resultado é \frac{1}{a}\ln|a z+b|+C.

Passo 4

Integro cada termo separadamente:
  • \displaystyle \int 2 z^{2}\,dz = 2\cdot \frac{z^{3}}{3} = \frac{2}{3} z^{3}.
  • \displaystyle \int z\,dz = \frac{z^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int \tfrac{1}{2}\,dz = \tfrac{1}{2} z.
  • Para \displaystyle \int -\frac{1/2}{2 z-1}\,dz, faço a substituição u=2 z-1\Rightarrow du=2\,dz\Rightarrow dz=\tfrac{1}{2}du. Então \int -\frac{1/2}{2 z-1}\,dz = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{2}\,du = -\frac{1}{4}\int \frac{1}{u}\,du = -\frac{1}{4}\ln|u| + C = -\frac{1}{4}\ln|2 z-1| + C.
Somando tudo, uma primitiva é
F(z)=\frac{2}{3} z^{3} + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z}{2} - \frac{1}{4}\ln|2 z-1|.

Passo 5

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo: \displaystyle \int_{1}^{5} f(z)\,dz = F(5)-F(1).
Calculo F(5):
F(5)=\frac{2}{3}\cdot 5^{3} + \frac{5^{2}}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{4}\ln|2\cdot 5-1|.
Compute os termos numéricos:
\frac{2}{3}\cdot 125 = \frac{250}{3},\qquad \frac{5^{2}}{2} = \frac{25}{2},\qquad \frac{5}{2} = \frac{5}{2},\qquad 2\cdot 5-1=9.
Então
F(5)=\frac{250}{3} + \frac{25}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{4}\ln 9 = \frac{250}{3} + \frac{30}{2} - \frac{1}{4}\ln 9 = \frac{250}{3} + 15 - \frac{1}{4}\ln 9.
Calculo F(1):
F(1)=\frac{2}{3}\cdot 1^{3} + \frac{1^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}\ln|2\cdot 1-1|.
Aqui 2\cdot 1-1=1 e \ln 1=0. Então
F(1)=\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}.
Agora a diferença:
F(5)-F(1) = \left(\frac{250}{3}+15 - \frac{1}{4}\ln 9\right) - \frac{5}{3} = \frac{245}{3} + 15 - \frac{1}{4}\ln 9.
Somando \frac{245}{3}+15 = \frac{245}{3} + \frac{45}{3} = \frac{290}{3}. Além disso \ln 9 = \ln(3^{2}) = 2\ln 3, portanto
\frac{1}{4}\ln 9 = \frac{1}{4}\cdot 2\ln 3 = \frac{1}{2}\ln 3.
Substituindo:
\int_{1}^{5} \frac{4 z^{3}-1}{2 z-1}\,dz = \frac{290}{3} - \frac{1}{2}\ln 3.

Resposta

\dfrac{290}{3} - \dfrac{1}{2}\ln 3

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