Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas e observações imediatas (pegar destas expressões):
- O integrando é a função racional
. - O intervalo de integração é de
até . - O polinômio do numerador tem grau
e o do denominador tem grau .
Passo 2
Por causa da diferença de graus (numerador de grau maior que o denominador) é conveniente fazer uma divisão polinomial para escrever a razão como soma de um polinômio (mais fácil de integrar) e uma fração própria. Vou dividir
por
passo a passo.
Fazendo a divisão longa:
onde
é o resto. Vamos calcular os termos da divisão:
- Primeiro termo: dividir
por dá . Multiplicando de volta: Subtraindo, obtemos o resto parcial . - Segundo termo: dividir
por dá . Multiplicando: Subtraindo, o resto passa a ser . - Terceiro termo: dividir
por dá . Multiplicando: Subtraindo, o resto final é .
Portanto o resto
(constante) e a divisão completa é
Passo 3
Reescrevo a integral usando a decomposição obtida:
Agora vamos integrar termo a termo. Lembrando as fórmulas básicas:
- Para
: . - Para constante
: . - Para
, usar substituição , então o resultado é .
Passo 4
Integro cada termo separadamente:
-
-
-
- Para
, faço a substituição . Então
Somando tudo, uma primitiva é
Passo 5
Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
.
Calculo
:
Compute os termos numéricos:
Então
Calculo
:
Aqui
e
. Então
Agora a diferença:
Somando
. Além disso
, portanto
Substituindo: