Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(\operatorname{sen} 2 x+\cos 3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\bigl(\operatorname{sen}2x+\cos3x\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a soma de duas funções trigonométricas: \operatorname{sen}2x e \cos3x.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{6}.
  • A integral é definida (ou seja, pedir o valor numérico dessa área algébrica entre os limites).

Passo 2

Primeiro passo técnico: usar a linearidade da integral, que permite separar a soma em duas integrais menores. A regra é: para funções f e g,
\int (f+g)=\int f+\int g.
Aplicando aqui:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\bigl(\operatorname{sen}2x+\cos3x\bigr)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\operatorname{sen}2x\,dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos3x\,dx.

Passo 3

Agora integrar a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\operatorname{sen}2x\,dx.
Fórmula prática (que vou justificar rapidamente): para constante a\neq0,
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax)+C.
Justificativa curta: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\cos(ax)=-a\sin(ax). Então \sin(ax) tem primitiva -\cos(ax)/a.
Aplicando com a=2:
\int \operatorname{sen}2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos2x + C.
Portanto a primitiva usada na integral definida é -\dfrac{1}{2}\cos2x.

Passo 4

Agora integrar a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos3x\,dx.
Fórmula prática: para constante a\neq0,
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C,
porque \dfrac{d}{dx}\sin(ax)=a\cos(ax).
Aplicando com a=3:
\int \cos3x\,dx = \frac{1}{3}\sin3x + C.

Passo 5

Juntando as primitivas das duas parcelas, uma primitiva F(x) do integrando é
F(x) = -\frac{1}{2}\cos2x + \frac{1}{3}\sin3x.
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)-F(0).
Calculemos F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) e F(0) avaliando as funções trigonométricas:
  • \cos\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{6}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{1}{2}.
  • \sin\bigl(3\cdot \tfrac{\pi}{6}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
  • \cos(0)=1.
  • \sin(0)=0.
Então
F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3},
F(0) = -\frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{3}\cdot 0 = -\frac{1}{2}.

Passo 6

Subtrair F(0) de F\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr):
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\bigl(\operatorname{sen}2x+\cos3x\bigr)\,dx = \left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right).
Calcule as frações passo a passo:
-\frac{1}{4}+\frac{1}{3} = \frac{-3+4}{12} = \frac{1}{12},
então
\frac{1}{12} -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{2} = \frac{1}{12} + \frac{6}{12} = \frac{7}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{12}

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