Nos itens a seguir, calcule a integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a soma de duas funções trigonométricas:
e . - Os limites de integração são
e . - A integral é definida (ou seja, pedir o valor numérico dessa área algébrica entre os limites).
Passo 2
Primeiro passo técnico: usar a linearidade da integral, que permite separar a soma em duas integrais menores. A regra é: para funções
e
,
Aplicando aqui:
Passo 3
Agora integrar a primeira integral
.
Fórmula prática (que vou justificar rapidamente): para constante
,
Justificativa curta: pela regra da cadeia,
. Então
tem primitiva
.
Aplicando com
:
Portanto a primitiva usada na integral definida é
.
Passo 4
Agora integrar a segunda integral
.
Fórmula prática: para constante
,
porque
.
Aplicando com
:
Passo 5
Juntando as primitivas das duas parcelas, uma primitiva
do integrando é
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
.
Calculemos
e
avaliando as funções trigonométricas:
Então
Passo 6
Subtrair
de
:
Calcule as frações passo a passo:
então