Nos itens a seguir, use a relação \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right) \Delta x para determinar o valor exato da integral definida.
\int_{-2}^{1} x^{4} d x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular a integral definida \displaystyle \int_{-2}^{1} x^{4}\,dx usando a definição por soma de Riemann \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n\to+\infty} \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x.
  • Os dados relevantes são os limites do intervalo: a = -2 e b = 1.
  • Vamos construir uma partição uniforme do intervalo [a,b] com n subintervalos e calcular explicitamente a soma de Riemann correspondente para f(x)=x^4, depois tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Definir a partição uniforme e as quantidades básicas.
  • O comprimento de cada subintervalo é \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1-(-2)}{n} = \frac{3}{n}.
  • Vou escolher os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo (uma escolha válida para definir uma soma de Riemann). Então c_i = a + i\,\Delta x = -2 + i\cdot\frac{3}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
  • A soma de Riemann será S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\,\Delta x = \frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(-2+\frac{3i}{n}\Bigr)^{4}.

Passo 3

Expandir o termo \Bigl(-2+\dfrac{3i}{n}\Bigr)^{4} usando o binômio.
  • Usando (A+B)^4 = A^4 + 4A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4 com A=-2 e B=\dfrac{3i}{n}, obtém-se \Bigl(-2+\frac{3i}{n}\Bigr)^{4} = 16 - \frac{96\,i}{n} + \frac{216\,i^{2}}{n^{2}} - \frac{216\,i^{3}}{n^{3}} + \frac{81\,i^{4}}{n^{4}}.

Passo 4

Substituir a expansão na soma e separar as somas de potências de i.
  • Substituindo na expressão de S_n, S_n = \frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(16 - \frac{96\,i}{n} + \frac{216\,i^{2}}{n^{2}} - \frac{216\,i^{3}}{n^{3}} + \frac{81\,i^{4}}{n^{4}}\right).
  • Agrupando termos: S_n = \frac{3}{n}\left(16n - \frac{96}{n}\sum_{i=1}^{n}i + \frac{216}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i^{2} - \frac{216}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n}i^{3} + \frac{81}{n^{4}}\sum_{i=1}^{n}i^{4}\right).

Passo 5

Usar as fórmulas conhecidas para as somas das potências i, i^{2}, i^{3}, i^{4}.
  • Fórmulas (válidas para todo n inteiro positivo): \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2},
\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2},
\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}.
  • Substituindo essas expressões em S_n e simplificando termo a termo (faça as divisões por n, n^{2},\dots com atenção):
    Calcule cada contribuição dentro do parêntese:
    \begin{aligned} &16n,\\[4pt] &-\frac{96}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = -48(n+1) = -48n-48,\\[4pt] &\frac{216}{n^{2}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =36\cdot\frac{(n+1)(2n+1)}{n} =72n+108+\frac{36}{n},\\[4pt] &-\frac{216}{n^{3}}\cdot\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2} =-54\cdot\frac{(n+1)^{2}}{n} =-54n-108-\frac{54}{n},\\[4pt] &\frac{81}{n^{4}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30} =\frac{27}{10}\cdot\frac{6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{n^{4}}\\[4pt] &=\frac{81}{5}n+\frac{81}{2}+\frac{27}{n}-\frac{27}{10n^{3}}. \end{aligned}]

Passo 6

Somar as contribuições e simplificar a expressão dentro dos colchetes.
  • Somando os termos que dependem de n e os constantes: \begin{aligned} \text{coeficiente de }n &: \;16 -48 +72 -54 +\frac{81}{5} = \frac{11}{5},\\[4pt] \text{termo constante} &: \;-48 +108 -108 +\frac{81}{2} = -\frac{15}{2},\\[4pt] \text{termos em } \frac{1}{n} &: \;\frac{36}{n}-\frac{54}{n}+\frac{27}{n}=\frac{9}{n},\\[4pt] \text{termos menores} &: \;-\frac{27}{10n^{3}}. \end{aligned}
  • Portanto o conteúdo do parêntese é \frac{11}{5}\,n - \frac{15}{2} + \frac{9}{n} - \frac{27}{10\,n^{3}}.
  • Assim S_n = \frac{3}{n}\left(\frac{11}{5}\,n - \frac{15}{2} + \frac{9}{n} - \frac{27}{10\,n^{3}}\right).]

Passo 7

Tomar o limite quando n\to\infty para obter a integral.
  • Multiplicando por \dfrac{3}{n} e passando ao limite: S_n = 3\cdot\frac{11}{5} - \frac{45}{2n} + \frac{27}{n^{2}} - \frac{81}{10\,n^{4}}.
  • Quando n\to\infty, os termos com n no denominador vão para zero, ficando apenas \lim_{n\to\infty} S_n = 3\cdot\frac{11}{5} = \frac{33}{5}.
  • Assim, pela definição de integral como limite de somas de Riemann, o valor exato da integral é \dfrac{33}{5}.

Resposta

\dfrac{33}{5}

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