Nos itens a seguir, use a relação
para determinar o valor exato da integral definida.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede-se calcular a integral definida
usando a definição por soma de Riemann - Os dados relevantes são os limites do intervalo:
e . - Vamos construir uma partição uniforme do intervalo
com subintervalos e calcular explicitamente a soma de Riemann correspondente para , depois tomar o limite quando .
Passo 2
Definir a partição uniforme e as quantidades básicas.
- O comprimento de cada subintervalo é
- Vou escolher os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo (uma escolha válida para definir uma soma de Riemann). Então
- A soma de Riemann será
Passo 3
Expandir o termo
usando o binômio.
- Usando
com e , obtém-se
Passo 4
Substituir a expansão na soma e separar as somas de potências de
.
- Substituindo na expressão de
, - Agrupando termos:
Passo 5
Usar as fórmulas conhecidas para as somas das potências
.
- Fórmulas (válidas para todo
inteiro positivo):
-
Substituindo essas expressões em
e simplificando termo a termo (faça as divisões por com atenção): Calcule cada contribuição dentro do parêntese:]
Passo 6
Somar as contribuições e simplificar a expressão dentro dos colchetes.
- Somando os termos que dependem de
e os constantes: - Portanto o conteúdo do parêntese é
- Assim
]
Passo 7
Tomar o limite quando
para obter a integral.
- Multiplicando por
e passando ao limite: - Quando
, os termos com no denominador vão para zero, ficando apenas - Assim, pela definição de integral como limite de somas de Riemann, o valor exato da integral é
.