Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{x^{3} d x}{\left(x^{2}+4\right)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}\,dx}{\left(x^{2}+4\right)^{\frac{3}{2}}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é \dfrac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
  • C será a constante de integração.

Passo 2

Escolher um método: observar a forma (x^{2}+4) no denominador e a presença de x^{3} no numerador. Uma substituição natural é
u = x^{2}+4,
porque então du envolve x\,dx, e podemos escrever x^{3}dx como x^{2}\cdot x\,dx usando a relação entre x^{2} e u. Vou explicar a substituição e por que ela ajuda:
  • Derivando u obtemos du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \dfrac{du}{2}.
  • Como x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx, podemos substituir x^{2} = u-4 e x\,dx = \dfrac{du}{2}. Isso elimina x e deixa a integral em função de u, que é mais simples porque teremos potências de u.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente. Com u = x^{2}+4 temos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também x^{2} = u-4. Então
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (u-4)\cdot\frac{du}{2} = \frac{u-4}{2}\,du.

Passo 4

Reescrevo a integral em termos de u. Substituindo x^{3}dx e (x^{2}+4) temos
\int \frac{x^{3}\,dx}{\left(x^{2}+4\right)^{3/2}} = \int \frac{\dfrac{u-4}{2}\,du}{u^{3/2}}.
Colocando o fator constante para fora:
= \frac{1}{2}\int \frac{u-4}{u^{3/2}}\,du.
Agora distribuo a divisão por u^{3/2}:
\frac{u-4}{u^{3/2}} = u\cdot u^{-3/2} - 4u^{-3/2} = u^{-1/2} - 4u^{-3/2}.
Portanto a integral vira
\frac{1}{2}\int\left(u^{-1/2} - 4u^{-3/2}\right)du.

Passo 5

Integro termo a termo usando a regra das potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando ao nosso caso:
  • Para u^{-1/2}: n=-\tfrac{1}{2}, então \int u^{-1/2}\,du = \dfrac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
  • Para u^{-3/2}: n=-\tfrac{3}{2}, então \int u^{-3/2}\,du = \dfrac{u^{-1/2}}{-1/2}=-2u^{-1/2}.
Assim
\int\left(u^{-1/2} - 4u^{-3/2}\right)du = 2u^{1/2} -4\cdot\big(-2u^{-1/2}\big)=2u^{1/2}+8u^{-1/2}.

Passo 6

Lembrando do fator \dfrac{1}{2} multiplicando a integral, obtemos a primitiva em u:
\frac{1}{2}\big(2u^{1/2}+8u^{-1/2}\big) = u^{1/2}+4u^{-1/2}+C.
Agora volto à variável x com u=x^{2}+4. Substituindo:
u^{1/2} = \sqrt{x^{2}+4},\qquad u^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Portanto a primitiva em x é
\sqrt{x^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^{2}+4}}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a expressão obtida usando a regra da cadeia dá de volta o integrando. A verificação consiste em diferenciar
F(x)=\sqrt{x^{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^{2}+4}}
e confirmar que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{(x^{2}+4)^{3/2}}. Isso fecha o raciocínio e garante que a primitiva está correta.

Resposta

\sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{4}{\sqrt{x^{2}+4}}+C

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