Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas que vamos usar:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma expressão
tal que . -
será a constante de integração.
Passo 2
Escolher um método: observar a forma
no denominador e a presença de
no numerador. Uma substituição natural é
porque então
envolve
, e podemos escrever
como
usando a relação entre
e
. Vou explicar a substituição e por que ela ajuda:
- Derivando
obtemos , ou seja . - Como
, podemos substituir e . Isso elimina e deixa a integral em função de , que é mais simples porque teremos potências de .
Passo 3
Faço a substituição explicitamente. Com
temos
Também
. Então
Passo 4
Reescrevo a integral em termos de
. Substituindo
e
temos
Colocando o fator constante para fora:
Agora distribuo a divisão por
:
Portanto a integral vira
Passo 5
Integro termo a termo usando a regra das potências: para
,
Aplicando ao nosso caso:
- Para
: , então . - Para
: , então .
Assim
Passo 6
Lembrando do fator
multiplicando a integral, obtemos a primitiva em
:
Agora volto à variável
com
. Substituindo:
Portanto a primitiva em
é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a expressão obtida usando a regra da cadeia dá de volta o integrando. A verificação consiste em diferenciar
e confirmar que
. Isso fecha o raciocínio e garante que a primitiva está correta.