Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{x^{3} d x}{\sqrt{1-2 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{1-2x^{2}}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Integrando: \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}.
  • Variável de integração: x.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}.
  • Observação útil: o radicando \,1-2x^{2}\, exige atenção ao domínio (normalmente trabalha-se onde 1-2x^{2}>0), mas a primitiva pode ser dada simbolicamente com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método: notar a presença de \sqrt{1-2x^{2}} sugere usar uma substituição do tipo u=1-2x^{2}, porque a derivada dessa expressão é proporcional a x, e o integrando tem um fator x^{3}=x^{2}\cdot x. A ideia é separar um x\,dx para transformar em du e converter o x^{2} em função de u. Isso costuma simplificar expressões com raiz de uma função quadrática.

Passo 3

Fazer a substituição u=1-2x^{2}. Calcular du e expressar x^{2} em termos de u:
u=1-2x^{2}\quad\Rightarrow\quad du=-4x\,dx.
Daqui obtemos
x\,dx=-\frac{1}{4}\,du.
Além disso
x^{2}=\frac{1-u}{2}.
Agora reescrevemos a integral separando x^{3}=x^{2}\cdot x:
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{1-2x^{2}}} = \int \frac{x^{2}\cdot x\,dx}{\sqrt{u}}.
Substituindo x^{2}=\dfrac{1-u}{2} e x\,dx=-\dfrac{1}{4}du,
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{1-2x^{2}}} = \int \frac{\left(\dfrac{1-u}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{4}du\right)}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{8}\int \frac{1-u}{\sqrt{u}}\,du.

Passo 4

Desenvolver o integrando em potências de u e integrar termo a termo:
\frac{1-u}{\sqrt{u}}=u^{-1/2}-u^{1/2}.
Logo
-\frac{1}{8}\int \left(u^{-1/2}-u^{1/2}\right)\,du = -\frac{1}{8}\left(\int u^{-1/2}\,du - \int u^{1/2}\,du\right).
As primitivas são
\int u^{-1/2}\,du = 2u^{1/2},\qquad \int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Substituindo:
-\frac{1}{8}\left(2u^{1/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right) = -\frac{1}{4}u^{1/2}+\frac{1}{12}u^{3/2} + \text{const}.

Passo 5

Voltar à variável x usando u=1-2x^{2}. Substituindo u na expressão obtida:
-\frac{1}{4}(1-2x^{2})^{1/2}+\frac{1}{12}(1-2x^{2})^{3/2} + C.
Fazer uma simplificação algébrica para deixar numa forma mais compacta: fatorando (1-2x^{2})^{1/2},
\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}(1-2x^{2})\right)(1-2x^{2})^{1/2} = -\frac{1+x^{2}}{6}\,(1-2x^{2})^{1/2}.
Portanto uma forma simples da primitiva é
-\frac{1+x^{2}}{6}\sqrt{1-2x^{2}} + C.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas dá segurança): derivando
F(x)=-\frac{1+x^{2}}{6}\sqrt{1-2x^{2}}
pelo produto e simplificando, obtém-se exatamente \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1-2x^{2}}}, confirmando que F'(x) é o integrando.

Resposta

-\dfrac{1+x^{2}}{6}\sqrt{1-2x^{2}} + C

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