Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- Integrando:
. - Variável de integração:
. - Objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é uma função
tal que . - Observação útil: o radicando
exige atenção ao domínio (normalmente trabalha-se onde ), mas a primitiva pode ser dada simbolicamente com constante de integração .
Passo 2
Escolha do método: notar a presença de
sugere usar uma substituição do tipo
, porque a derivada dessa expressão é proporcional a
, e o integrando tem um fator
. A ideia é separar um
para transformar em
e converter o
em função de
. Isso costuma simplificar expressões com raiz de uma função quadrática.
Passo 3
Fazer a substituição
. Calcular
e expressar
em termos de
:
Daqui obtemos
Além disso
Agora reescrevemos a integral separando
:
Substituindo
e
,
Passo 4
Desenvolver o integrando em potências de
e integrar termo a termo:
Logo
As primitivas são
Substituindo:
Passo 5
Voltar à variável
usando
. Substituindo
na expressão obtida:
Fazer uma simplificação algébrica para deixar numa forma mais compacta: fatorando
,
Portanto uma forma simples da primitiva é
Passo 6
Checagem rápida (opcional, mas dá segurança): derivando
pelo produto e simplificando, obtém-se exatamente
, confirmando que
é o integrando.