Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int 6 x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 6 x^{2} \operatorname{sen}\!\left(x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é 6 x^{2}\operatorname{sen}\!\left(x^{3}\right).
  • É uma integral indefinida, então a solução vem com uma constante de integração C.
  • Não há mais informações externas — tudo que precisamos está dentro da integranda.

Passo 2

Vamos observar a estrutura da integranda sem fazer contas ainda: aparece \operatorname{sen}\!\left(x^{3}\right) (uma função “externa”) e multiplicando por 6x^{2}. Note que a derivada de x^{3} é 3x^{2}, que é proporcional a x^{2} que aparece na integranda. Isso sugere a substituição clássica (trocar a parte interna por uma nova variável), porque assim reduzimos para uma integral mais simples.

Passo 3

Fazer a substituição. Defina a nova variável
u = x^{3}.
Calcule o diferencial du. Diferenciando ambos os lados obtemos
du = 3x^{2}\,dx.
Isolando x^{2}\,dx temos
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Multiplique ambos os lados por 6 para coincidir com o fator da integranda:
6x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{du}{3} = 2\,du.

Passo 4

Substitua na integral original: trocar x^{3} por u e 6x^{2}\,dx por 2\,du. Assim
\int 6 x^{2} \operatorname{sen}\!\left(x^{3}\right)\,dx = \int 2\,\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Integre a expressão em u. Lembre que a integral de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u). Como há um fator constante 2, pode-se tirar da integral:
\int 2\,\operatorname{sen}(u)\,du = 2\int \operatorname{sen}(u)\,du = 2\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -2\cos(u)+C.

Passo 6

Volte para a variável original substituindo u = x^{3}:
-2\cos(u)+C = -2\cos\!\left(x^{3}\right)+C.
Pronto — essa é a primitiva buscada.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado para checar se volta à integranda. Usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(-2\cos(x^{3})\bigr) = -2\cdot\bigl(-\sin(x^{3})\bigr)\cdot 3x^{2} = 6x^{2}\sin(x^{3}),
que coincide com a integranda. Está correto.

Passo 8

Dica prática para a prova: quando vir uma função composta \,f(g(x))\, multiplicada por um fator que é (ou é proporcional a) g'(x), experimente a substituição u=g(x). Isso simplifica bastante integrais que parecem complicadas à primeira vista. Exemplo rápido parecido: \int 4x e^{x^{2}}dx. Fazer u=x^{2} du=2x\,dx e a integral vira 2\int e^{u}du=2e^{u}+C=2e^{x^{2}}+C.

Resposta

-2\cos\!\left(x^{3}\right)+C

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