Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - É uma integral indefinida, então a solução vem com uma constante de integração
. - Não há mais informações externas — tudo que precisamos está dentro da integranda.
Passo 2
Vamos observar a estrutura da integranda sem fazer contas ainda: aparece
(uma função “externa”) e multiplicando por
. Note que a derivada de
é
, que é proporcional a
que aparece na integranda. Isso sugere a substituição clássica (trocar a parte interna por uma nova variável), porque assim reduzimos para uma integral mais simples.
Passo 3
Fazer a substituição. Defina a nova variável
Calcule o diferencial
. Diferenciando ambos os lados obtemos
Isolando
temos
Multiplique ambos os lados por
para coincidir com o fator da integranda:
Passo 4
Substitua na integral original: trocar
por
e
por
. Assim
Passo 5
Integre a expressão em
. Lembre que a integral de
é
. Como há um fator constante
, pode-se tirar da integral:
Passo 6
Volte para a variável original substituindo
:
Pronto — essa é a primitiva buscada.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado para checar se volta à integranda. Usando a regra da cadeia,
que coincide com a integranda. Está correto.
Passo 8
Dica prática para a prova: quando vir uma função composta
multiplicada por um fator que é (ou é proporcional a)
, experimente a substituição
. Isso simplifica bastante integrais que parecem complicadas à primeira vista. Exemplo rápido parecido:
. Fazer
dá
e a integral vira
.