Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma antiderivada (integral indefinida) da função dada. As informações do problema são:
- Calcular
. - Devemos fornecer uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Não há mais restrições; a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia de resolução (motivo da escolha da técnica): observar a expressão
composta com
. Frequentemente, quando temos uma função do tipo
multiplicada por algo que se parece com a derivada interna do polinômio, a substituição (trocar a expressão interna por uma nova variável) simplifica bastante. Aqui a parte interna é
e a sua derivada é proporcional a
. Portanto, vamos fazer a substituição
Passo 3
Calcular
em termos de
para substituir corretamente:
Isolando
,
Isso mostra que o fator
no integrando pode ser trocado por
.
Passo 4
Reescrever a integral original em termos de
. Substituindo
por
e
por
, obtemos
Fatorando a constante fora da integral:
Passo 5
Aplicar a regra da potência para integrais. Lembre que, para
,
Aqui
, logo
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Passo 6
Voltar da variável
para a variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (derivada da resposta deve retornar o integrando): calcular a derivada de
.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. A verificação confirma que a antiderivada está correta.