Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int x\left(2 x^{2}+1\right)^{6} d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada (integral indefinida) da função dada. As informações do problema são:
  • Calcular \displaystyle \int x\left(2 x^{2}+1\right)^{6}\,d x.
  • Devemos fornecer uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\left(2 x^{2}+1\right)^{6}.
  • Não há mais restrições; a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia de resolução (motivo da escolha da técnica): observar a expressão \left(2x^{2}+1\right)^{6} composta com x. Frequentemente, quando temos uma função do tipo (\text{polinômio})^nô multiplicada por algo que se parece com a derivada interna do polinômio, a substituição (trocar a expressão interna por uma nova variável) simplifica bastante. Aqui a parte interna é 2x^{2}+1 e a sua derivada é proporcional a x. Portanto, vamos fazer a substituição
u = 2x^{2}+1.

Passo 3

Calcular du em termos de dx para substituir corretamente:
u = 2x^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx}=4x \quad\Rightarrow\quad du = 4x\,dx.
Isolando x\,dx,
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Isso mostra que o fator x\,dx no integrando pode ser trocado por \dfrac{1}{4}du.

Passo 4

Reescrever a integral original em termos de u. Substituindo \left(2x^{2}+1\right) por u e x\,dx por \dfrac{1}{4}du, obtemos
\int x\left(2 x^{2}+1\right)^{6}\,dx = \int u^{6}\left(\frac{1}{4}\,du\right).
Fatorando a constante fora da integral:
\int x\left(2 x^{2}+1\right)^{6}\,dx = \frac{1}{4}\int u^{6}\,du.

Passo 5

Aplicar a regra da potência para integrais. Lembre que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=6, logo
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7}+C.
Multiplicando pela constante \dfrac{1}{4} que estava fora:
\frac{1}{4}\int u^{6}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{7}}{7}+C = \frac{u^{7}}{28}+C.

Passo 6

Voltar da variável u para a variável original x substituindo u=2x^{2}+1:
\text{(antiderivada)} = \frac{\left(2x^{2}+1\right)^{7}}{28} + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivada da resposta deve retornar o integrando): calcular a derivada de \dfrac{\left(2x^{2}+1\right)^{7}}{28}.
Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(2x^{2}+1\right)^{7}}{28}\right) = \frac{1}{28}\cdot 7\left(2x^{2}+1\right)^{6}\cdot (4x) = x\left(2x^{2}+1\right)^{6},
que é exatamente o integrando. A verificação confirma que a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(2x^{2}+1\right)^{7}}{28}+C

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