Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • A função dentro da integral é o produto de \left(t+\dfrac{1}{t}\right)^{\frac{3}{2}} e \dfrac{t^{2}-1}{t^{2}}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(t) tal que F'(t) seja o integrando.

Passo 2

Observação que sugere uma substituição: a expressão \left(\dfrac{t^{2}-1}{t^{2}}\right)\,dt parece ser exatamente a derivada de t+\dfrac{1}{t} (até um sinal/forma). Vamos verificar isso com cálculo explícito.
Defina a nova variável
u = t + \frac{1}{t}.
Agora calcule a derivada de u em relação a t:
\frac{du}{dt} = 1 - \frac{1}{t^{2}}.
Escrevendo de forma equivalente:
\frac{du}{dt} = \frac{t^{2}-1}{t^{2}}.
Isso implica que o diferencial é
du = \left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\right)\,dt.
Portanto o pedaço \left(\dfrac{t^{2}-1}{t^{2}}\right)\,dt do integrando é exatamente du. Essa é a razão de escolher u=t+\dfrac{1}{t}: a outra parte do integrando se transforma em du e simplifica completamente a integral.

Passo 3

Substituindo na integral, trocamos t por u e \left(\dfrac{t^{2}-1}{t^{2}}\right)\,dt por du. A integral fica simples:
\int\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\right)\,dt = \int u^{\frac{3}{2}}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrais (fórmula usada e explicada):
  • Regra de potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Aqui n=\dfrac{3}{2}, então n+1=\dfrac{5}{2}. Assim
\int u^{\frac{3}{2}}\,du = \frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}\,u^{\frac{5}{2}} + C.

Passo 5

Volte à variável original t substituindo u = t + \dfrac{1}{t}. A primitiva fica
\frac{2}{5}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{5}{2}} + C.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derive a resposta para confirmar que volta ao integrando.
Calcule \dfrac{d}{dt}\!\left[\dfrac{2}{5}\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^{\frac{5}{2}}\right].
Usando a regra da cadeia:
\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\left(1-\frac{1}{t^{2}}\right) = \left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{3}{2}}\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\right),
que é exatamente o integrando. Verificação OK.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{\frac{5}{2}}+C

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