Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função dentro da integral é o produto de
e . - O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma função
tal que seja o integrando.
Passo 2
Observação que sugere uma substituição: a expressão
parece ser exatamente a derivada de
(até um sinal/forma). Vamos verificar isso com cálculo explícito.
Defina a nova variável
Agora calcule a derivada de
em relação a
:
Escrevendo de forma equivalente:
Isso implica que o diferencial é
Portanto o pedaço
do integrando é exatamente
. Essa é a razão de escolher
: a outra parte do integrando se transforma em
e simplifica completamente a integral.
Passo 3
Substituindo na integral, trocamos
por
e
por
. A integral fica simples:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potência para integrais (fórmula usada e explicada):
- Regra de potência: para
,
onde
é a constante de integração.
Aqui , então
. Assim
Aqui
Passo 5
Volte à variável original
substituindo
. A primitiva fica
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): derive a resposta para confirmar que volta ao integrando.
Calcule .
Usando a regra da cadeia:
Calcule
Usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Verificação OK.