Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{sen}^{3} \theta \cos \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta\,d\theta.
Informações dadas:
  • A função integranda é \operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta.
  • Trata-se de uma integral indefinida (tem constante de integração).

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a presença de \cos\theta\,d\theta junto com uma potência de \operatorname{sen}\theta sugere usar substituição. Isso porque a derivada de \operatorname{sen}\theta é \cos\theta; portanto podemos transformar a integral numa integral de potência simples. Não há restrições no enunciado que obriguem outro método, e a substituição é o caminho mais direto aqui.

Passo 3

Fazer a substituição. Definir a nova variável
u=\operatorname{sen}\theta.
Agora calcular o diferencial du. Pela regra da derivada,
du=\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sen}\theta)\,d\theta=\cos\theta\,d\theta.
Portanto \cos\theta\,d\theta aparece exatamente como du.

Passo 4

Reescrever a integral em função de u. Substituindo \operatorname{sen}\theta=u e \cos\theta\,d\theta=du, obtemos
\int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta\,d\theta=\int u^{3}\,du.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência para primitivas. A regra geral é: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, logo
\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 6

Voltar à variável original substituindo u=\operatorname{sen}\theta:
\frac{u^{4}}{4}+C=\frac{\operatorname{sen}^{4}\theta}{4}+C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, útil para a prova): derivando a resposta com relação a \theta deve recuperar o integrando. Derivada de \dfrac{\operatorname{sen}^{4}\theta}{4} é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{\operatorname{sen}^{4}\theta}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4\operatorname{sen}^{3}\theta\cdot\cos\theta=\operatorname{sen}^{3}\theta\cos\theta,
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{4}\theta}{4}+C

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