Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \sqrt{\frac{1}{t}-1} \frac{d t}{t^{2}}\

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sqrt{\frac{1}{t}-1}\,\frac{dt}{t^{2}}.
Informações dadas: a integranda é uma função racional/misturada com uma raiz que envolve \tfrac{1}{t}. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(t) tal que F'(t) seja a integranda.

Passo 2

Observação e escolha de técnica: a expressão dentro da raiz é \dfrac{1}{t}-1. Uma substituição que costuma simplificar raízes desse tipo é definir a própria raiz (ou seu quadrado) como nova variável. Vou escolher a substituição
u=\sqrt{\frac{1}{t}-1}.
Agora vou transformar toda a integral em função de u. Primeiro encontro uma relação inversa para t.

Passo 3

Expressar t em função de u. Da definição u^{2}=\dfrac{1}{t}-1 segue
\frac{1}{t}=u^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{u^{2}+1}.
Em particular,
t^{2}=\frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Calcular dt em função de u e du. Derivando t=\dfrac{1}{u^{2}+1} em relação a u,
dt = -\frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}\,du.

Passo 5

Reescrever o elemento \dfrac{dt}{t^{2}} usando as expressões obtidas. Usando t^{2}=\dfrac{1}{(u^{2}+1)^{2}} obtemos
\frac{dt}{t^{2}} = dt\cdot (u^{2}+1)^{2}.
Substituindo dt da etapa anterior:
\frac{dt}{t^{2}} = \left(-\frac{2u}{(u^{2}+1)^{2}}\,du\right)\cdot (u^{2}+1)^{2} = -2u\,du.

Passo 6

Reescrever toda a integral em u. A raiz inicial é u por definição, então a integranda \sqrt{\dfrac{1}{t}-1}\,\dfrac{dt}{t^{2}} vira
u\cdot\left(\frac{dt}{t^{2}}\right) = u\cdot(-2u\,du) = -2u^{2}\,du.
Portanto a integral original transforma-se em uma integral simples em u:
\int \sqrt{\frac{1}{t}-1}\,\frac{dt}{t^{2}} = \int -2u^{2}\,du.

Passo 7

Calcular a primitiva em u. Integramos a potência:
\int -2u^{2}\,du = -2\cdot\frac{u^{3}}{3}+C = -\frac{2}{3}u^{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Voltar para a variável t. Lembrando que u=\sqrt{\dfrac{1}{t}-1}, substituímos:
-\frac{2}{3}u^{3}+C = -\frac{2}{3}\left(\sqrt{\frac{1}{t}-1}\right)^{3}+C = -\frac{2}{3}\left(\frac{1}{t}-1\right)^{3/2}+C.

Passo 9

Verificação rápida por derivação (para ter segurança): derivando F(t)=-\dfrac{2}{3}\big(\dfrac{1}{t}-1\big)^{3/2},
F'(t) = -\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\left(\frac{1}{t}-1\right)^{1/2}\cdot\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) = \left(\frac{1}{t}-1\right)^{1/2}\frac{1}{t^{2}},
que é exatamente a integranda. Logo a antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^{3/2}+C

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