Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é uma função racional/misturada com uma raiz que envolve
. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
seja a integranda.
Passo 2
Observação e escolha de técnica: a expressão dentro da raiz é
. Uma substituição que costuma simplificar raízes desse tipo é definir a própria raiz (ou seu quadrado) como nova variável. Vou escolher a substituição
Agora vou transformar toda a integral em função de
. Primeiro encontro uma relação inversa para
.
Passo 3
Expressar
em função de
. Da definição
segue
Em particular,
Passo 4
Calcular
em função de
e
. Derivando
em relação a
,
Passo 5
Reescrever o elemento
usando as expressões obtidas. Usando
obtemos
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Reescrever toda a integral em
. A raiz inicial é
por definição, então a integranda
vira
Portanto a integral original transforma-se em uma integral simples em
:
Passo 7
Calcular a primitiva em
. Integramos a potência:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltar para a variável
. Lembrando que
, substituímos:
Passo 9
Verificação rápida por derivação (para ter segurança): derivando
,
que é exatamente a integranda. Logo a antiderivada está correta.