Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \frac{1}{2} t \cos \left(4 t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{2}\, t \cos\!\left(4 t^{2}\right)\, d t.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é \dfrac{1}{2}\,t\cos\!\left(4t^{2}\right).
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação que facilita a resolução: dentro do cosseno aparece a função 4t^{2}. A técnica natural aqui é a substituição (trocar a variável por u) porque a derivada de 4t^{2} é proporcional a t, e o integrando já contém um fator t\,dt. Vamos escolher a substituição
u = 4 t^{2}.
Agora calculemos du em termos de dt. Diferenciando, obtemos
du = \frac{d}{dt}\big(4 t^{2}\big)\,dt = 8 t\,dt.

Passo 3

Isolamos t\,dt em função de du:
t\,dt = \frac{du}{8}.
Substituímos na integral original. Note que havia um fator \dfrac{1}{2} multiplicando t\cos(4t^{2})\,dt. Então
\frac{1}{2}\,t\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{du}{8} = \frac{du}{16}.
Assim a integral em u fica
\int \frac{1}{2}\,t\cos\!\left(4t^{2}\right)\,dt = \int \frac{1}{16}\cos(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos com respeito a u. A primitiva de \cos(u) é \sin(u). Logo
\int \frac{1}{16}\cos(u)\,du = \frac{1}{16}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável original t (substituindo u=4t^{2}), obtemos
\frac{1}{16}\sin\!\big(4t^{2}\big) + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para eu e você ficarmos tranquilos): usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{16}\sin\!\big(4t^{2}\big)\right] = \frac{1}{16}\cos\!\big(4t^{2}\big)\cdot \frac{d}{dt}\big(4t^{2}\big) = \frac{1}{16}\cos\!\big(4t^{2}\big)\cdot 8t = \frac{1}{2}\,t\cos\!\big(4t^{2}\big),
que é exatamente o integrando original. Perfeito — a primitiva está correta.

Passo 6

Dica prática para a prova (rapidinha e útil): quando vir \cos ou \sin de uma função composta (tipo \cos( \text{algo}(t) )) e o integrando tem um fator que é proporcional à derivada desse “algo”, já pense em u-substituição. Muitas vezes basta ajustar constantes (multiplicar e dividir por um número) para transformar o integrando no formato \text{constante}\cdot f'(t)\,f(\cdot).
Exemplo curto extra (para treinar): calcular \int t\sin\!\big(3t^{2}\big)\,dt.
  • Fazendo u=3t^{2}, então du=6t\,dt e t\,dt = du/6.
  • A integral vira \int \sin(u)\,\frac{du}{6} = -\tfrac{1}{6}\cos(u)+C = -\tfrac{1}{6}\cos(3t^{2})+C.
Vai dar certo com prática — você consegue!

Resposta

\dfrac{1}{16}\sin\!\big(4t^{2}\big)+C

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