Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação que facilita a resolução: dentro do cosseno aparece a função
. A técnica natural aqui é a substituição (trocar a variável por
) porque a derivada de
é proporcional a
, e o integrando já contém um fator
. Vamos escolher a substituição
Agora calculemos
em termos de
. Diferenciando, obtemos
Passo 3
Isolamos
em função de
:
Substituímos na integral original. Note que havia um fator
multiplicando
. Então
Assim a integral em
fica
Passo 4
Agora integramos com respeito a
. A primitiva de
é
. Logo
onde
é a constante de integração. Voltando à variável original
(substituindo
), obtemos
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para eu e você ficarmos tranquilos): usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Perfeito — a primitiva está correta.
Passo 6
Dica prática para a prova (rapidinha e útil): quando vir
ou
de uma função composta (tipo
) e o integrando tem um fator que é proporcional à derivada desse “algo”, já pense em
-substituição. Muitas vezes basta ajustar constantes (multiplicar e dividir por um número) para transformar o integrando no formato
.
Exemplo curto extra (para treinar): calcular
.
- Fazendo
, então e . - A integral vira
.
Vai dar certo com prática — você consegue!