Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \operatorname{cosec}^{2} 2 \theta d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{cosec}^{2} 2\theta \, d\theta.
  • A única informação dada é a função integranda \operatorname{cosec}^{2} 2\theta (ou seja, \big(\operatorname{cosec}(2\theta)\big)^{2}).
  • Lembrete: ao final queremos uma primitiva (função cuja derivada seja a integranda) mais a constante de integração.

Passo 2

Recordando uma fórmula essencial que vamos usar (aula curta):
  • A derivada da função cotangente é \dfrac{d}{dx}\big(\cot x\big) = -\csc^{2}x. Em notação consistente com o enunciado, podemos escrever \dfrac{d}{dx}\big(\cot x\big) = -\operatorname{cosec}^{2}x.
  • Isso implica imediatamente que uma primitiva de \operatorname{cosec}^{2}x é -\cot x, porque derivando -\cot x volta-se para \operatorname{cosec}^{2}x.
  • Aqui temos \operatorname{cosec}^{2} de uma função composta ( 2\theta), então precisaremos usar uma substituição (regra da cadeia) para tratar o fator interno.

Passo 3

Fazer a substituição para lidar com a composição:
  • Defina u=2\theta.
  • Então du = 2\,d\theta, ou seja d\theta=\dfrac{1}{2}\,du.
  • Substituindo na integral original:
\int \operatorname{cosec}^{2}2\theta\,d\theta = \int \operatorname{cosec}^{2}u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \operatorname{cosec}^{2}u\,du.

Passo 4

Integrar em u usando a primitiva conhecida:
  • Como lembrado no Passo 2, uma primitiva de \operatorname{cosec}^{2}u é -\cot u.
  • Portanto
\frac{1}{2}\int \operatorname{cosec}^{2}u\,du = \frac{1}{2}\big(-\cot u\big) + C = -\frac{1}{2}\cot u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável \theta (substituição inversa):
  • Lembrando que u=2\theta, substitui-se de volta:
-\frac{1}{2}\cot u + C = -\frac{1}{2}\cot(2\theta) + C.

Passo 6

Verificação rápida (checagem por diferenciação):
  • Diferenciando a primitiva F(\theta) = -\dfrac{1}{2}\cot(2\theta):
F'(\theta) = -\frac{1}{2}\cdot\big(-\csc^{2}(2\theta)\big)\cdot \frac{d}{d\theta}(2\theta) = \frac{1}{2}\csc^{2}(2\theta)\cdot 2 = \csc^{2}(2\theta),
o que coincide com a integranda \operatorname{cosec}^{2}2\theta. Está correcto.

Passo 7

Palavras de incentivo: você fez a parte mais importante — reconhecer a primitiva básica e aplicar a substituição por regra da cadeia. Repete esse padrão em outras integrais com funções trigonométricas compostas e vai ganhar confiança rapidinho!

Resposta

-\dfrac{1}{2}\cot(2\theta)+C

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