Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede calcular a integral indefinida
. - A única informação dada é a função integranda
(ou seja, ). - Lembrete: ao final queremos uma primitiva (função cuja derivada seja a integranda) mais a constante de integração.
Passo 2
Recordando uma fórmula essencial que vamos usar (aula curta):
- A derivada da função cotangente é
. Em notação consistente com o enunciado, podemos escrever . - Isso implica imediatamente que uma primitiva de
é , porque derivando volta-se para . - Aqui temos
de uma função composta ( ), então precisaremos usar uma substituição (regra da cadeia) para tratar o fator interno.
Passo 3
Fazer a substituição para lidar com a composição:
- Defina
. - Então
, ou seja . - Substituindo na integral original:
Passo 4
Integrar em
usando a primitiva conhecida:
- Como lembrado no Passo 2, uma primitiva de
é . - Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
(substituição inversa):
- Lembrando que
, substitui-se de volta:
Passo 6
Verificação rápida (checagem por diferenciação):
- Diferenciando a primitiva
:
o que coincide com a integranda
. Está correcto.
Passo 7
Palavras de incentivo: você fez a parte mais importante — reconhecer a primitiva básica e aplicar a substituição por regra da cadeia. Repete esse padrão em outras integrais com funções trigonométricas compostas e vai ganhar confiança rapidinho!