Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
multiplicada por . - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma expressão cujo diferencial seja a integranda.
- Devemos adicionar a constante de integração, que chamaremos de
.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do método): quando a integranda contém uma expressão do tipo
junto com fatores proporcionais a
, a técnica natural é a substituição (u-substitution). A substituição funciona assim: define-se
, calcula-se
e reescreve-se toda a integral em termos de
e
. Depois integra-se em
e volta-se para
.
No nosso caso, dentro da raiz aparece
. A derivada dessa expressão em relação a
envolve exatamente um termo com
. Isso é um ótimo sinal: podemos tentar a substituição
A seguir vamos calcular
e ver como aparece o fator
.
Passo 3
Calcular
. Diferenciando
em relação a
:
Portanto, em diferencial,
Passo 4
Isolar
em termos de
. A partir de
obtemos
Isto é ótimo: o fator
que estava junto da raiz na integral pode ser substituído por
.
Passo 5
Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo
e
na integral original, obtemos
Retirando a constante
para fora da integral,
Passo 6
Integrar em
. Usamos a fórmula básica para potências: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo
que estava fora:
Passo 7
Voltar para a variável
(substituir
pela expressão em
). Lembrando que
, a primitiva encontrada é
Podemos verificar rapidamente por diferenciação: derivando esta expressão obtém-se de volta
, confirmando que a primitiva está correta.