Nos itens a seguir, calcule a integral indefinida.
\int \sqrt{1+\frac{1}{3 x}} \frac{d x}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{1+\frac{1}{3x}}\;\frac{dx}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sqrt{1+\dfrac{1}{3x}} multiplicada por \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma expressão cujo diferencial seja a integranda.
  • Devemos adicionar a constante de integração, que chamaremos de C.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do método): quando a integranda contém uma expressão do tipo f(g(x)) junto com fatores proporcionais a g'(x), a técnica natural é a substituição (u-substitution). A substituição funciona assim: define-se u=g(x), calcula-se du=g'(x)\,dx e reescreve-se toda a integral em termos de u e du. Depois integra-se em u e volta-se para x.
No nosso caso, dentro da raiz aparece 1+\dfrac{1}{3x}. A derivada dessa expressão em relação a x envolve exatamente um termo com 1/x^{2}. Isso é um ótimo sinal: podemos tentar a substituição
u=1+\frac{1}{3x}.
A seguir vamos calcular du e ver como aparece o fator \dfrac{dx}{x^{2}}.

Passo 3

Calcular du. Diferenciando u em relação a x:
u = 1+\frac{1}{3x}
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3x}\right) = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Portanto, em diferencial,
du = -\frac{1}{3}\,\frac{dx}{x^{2}}.

Passo 4

Isolar \dfrac{dx}{x^{2}} em termos de du. A partir de du = -\dfrac{1}{3}\dfrac{dx}{x^{2}} obtemos
\frac{dx}{x^{2}} = -3\,du.
Isto é ótimo: o fator \dfrac{dx}{x^{2}} que estava junto da raiz na integral pode ser substituído por -3\,du.

Passo 5

Fazer a mudança de variável na integral. Substituindo u=1+\dfrac{1}{3x} e \dfrac{dx}{x^{2}}=-3\,du na integral original, obtemos
\int \sqrt{1+\frac{1}{3x}}\;\frac{dx}{x^{2}} = \int \sqrt{u}\;(-3\,du).
Retirando a constante -3 para fora da integral,
= -3\int u^{1/2}\,du.

Passo 6

Integrar em u. Usamos a fórmula básica para potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
Multiplicando pelo -3 que estava fora:
-3\int u^{1/2}\,du = -3\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = -2\,u^{3/2} + C.

Passo 7

Voltar para a variável x (substituir u pela expressão em x). Lembrando que u=1+\dfrac{1}{3x}, a primitiva encontrada é
-2\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3/2} + C.
Podemos verificar rapidamente por diferenciação: derivando esta expressão obtém-se de volta \sqrt{1+\tfrac{1}{3x}}\;\dfrac{1}{x^{2}}, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-2\left(1+\dfrac{1}{3x}\right)^{3/2}+C

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