Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivação (integração indefinida) da função dada, ou seja encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x) seja a função integranda. As informações que temos:
  • A integral é
\int\left(\sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\,dx.
  • É uma integral indefinida, então o resultado terá uma constante de integração C.
  • Não há outra condição (por exemplo, valor inicial); só precisamos de uma primitiva geral.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências para tornar a integração direta. Lembrando que a raiz cúbica se escreve como potência de expoente 1/3. Assim:
\sqrt[3]{x}=x^{1/3}, \qquad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-1/3}.
Portanto a integral fica
\int\left(x^{1/3}+x^{-1/3}\right)\,dx.

Passo 3

Agora vamos usar a regra básica de antiderivação para potências: para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando: aqui x é a variável de integração, n é o expoente. A ideia é aumentar o expoente em 1 (ou seja calcular n+1) e dividir por esse novo expoente. O caso n=-1 é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|. No nosso problema os expoentes são n=1/3 e n=-1/3, ambos diferentes de -1, então a fórmula vale.

Passo 4

Aplicar a fórmula termo a termo.
Para o termo x^{1/3}: aqui n=\tfrac{1}{3}. Calcula-se n+1=\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{4}{3}. Então
\int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}\,x^{4/3}.
(Observe que dividir por \tfrac{4}{3} é multiplicar por \tfrac{3}{4}.)
Para o termo x^{-1/3}: aqui n=-\tfrac{1}{3}. Calcula-se n+1=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}. Então
\int x^{-1/3}\,dx=\frac{x^{2/3}}{2/3}=\frac{3}{2}\,x^{2/3}.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{3}{4}\,x^{4/3}+\frac{3}{2}\,x^{2/3}+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): derivando F(x) deve voltar o integrando. Derivando termo a termo usando a regra da potência:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{1/3},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{2}x^{2/3}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}=x^{-1/3}.
Somando fica x^{1/3}+x^{-1/3}, exatamente o integrando. Então está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}x^{4/3}+\frac{3}{2}x^{2/3}+C

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