Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede a antiderivação (integração indefinida) da função dada, ou seja encontrar uma primitiva
tal que
seja a função integranda. As informações que temos:
- A integral é
- É uma integral indefinida, então o resultado terá uma constante de integração
. - Não há outra condição (por exemplo, valor inicial); só precisamos de uma primitiva geral.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências para tornar a integração direta. Lembrando que a raiz cúbica se escreve como potência de expoente
. Assim:
Portanto a integral fica
Passo 3
Agora vamos usar a regra básica de antiderivação para potências: para qualquer número real
,
Explicando: aqui
é a variável de integração,
é o expoente. A ideia é aumentar o expoente em
(ou seja calcular
) e dividir por esse novo expoente. O caso
é especial porque daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é
. No nosso problema os expoentes são
e
, ambos diferentes de
, então a fórmula vale.
Passo 4
Aplicar a fórmula termo a termo.
Para o termo
: aqui
. Calcula-se
. Então
(Observe que dividir por
é multiplicar por
.)
Para o termo
: aqui
. Calcula-se
. Então
Passo 5
Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): derivando
deve voltar o integrando. Derivando termo a termo usando a regra da potência:
Somando fica
, exatamente o integrando. Então está correto.