Seja f(x, y, z) uma função diferenciável tal que nabla f(1,1, e^3)=(1,0,2).
Se F(t)=f(t^2+1, cos (t), e^t+2), calcule F^prime(0).

Passo 1

O enunciado fornece que nabla f(1,1,e^3)=(1,0,2). Queremos calcular F'(0), onde F(t)=f(t^2+1,cos t,e^t+2). Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Em t=0 temos
x(0)=0^2+1=1, y(0)=cos0=1 e z(0)=e^0+2=e^2.
Portanto, ao derivar F(t) em t=0 precisamos de fx, fy, fz avaliados em (1,1,e^2).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:
F'(0)=fx(1,1,e^2)cdot x'(0)+fy(1,1,e^2)cdot y'(0)+fz(1,1,e^2)cdot z'(0)
Como
x'(t)=2tRightarrow x'(0)=0,
y'(t)=-sin tRightarrow y'(0)=0,
z'(t)=e^t+2Rightarrow z'(0)=e^2,
segue
F'(0)=0+0+e^2,fz(1,1,e^2)=e^2,fz(1,1,e^2)

Passo 4

Perceba que o valor de fz(1,1,e^2) (e também de fx, fy nesse ponto) não foi fornecido no enunciado — foi dado apenas nabla f(1,1,e^3). Portanto não é possível determinar numericamente F'(0).

Resposta

Não é possível determinar F'(0) pois falta o valor de nabla f(1,1,e^2).

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