Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os pares da forma (
) com as operações usuais de
.
O conjunto de todos os pares da forma (
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações usuais de .
O conteúdo aqui é teoria de espaço vetorial e, mais especificamente, identificação de subespaço.
Para concluir que esse conjunto é um espaço vetorial, basta mostrar que ele é um subespaço de : verificar que contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
com as operações usuais de
O conteúdo aqui é teoria de espaço vetorial e, mais especificamente, identificação de subespaço.
Para concluir que esse conjunto é um espaço vetorial, basta mostrar que ele é um subespaço de
Passo 2
Verificação do critério de subespaço:
- O vetor zero de
é . Como tem primeira componente , ele pertence ao conjunto. - Fechamento sob adição: dadas
e no conjunto, e , logo também está no conjunto. - Fechamento sob multiplicação por escalar: para qualquer
e qualquer no conjunto, e , logo está no conjunto.
Passo 3
Como o conjunto é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, ele satisfaz o teste de subespaço de
. Portanto, com as operações usuais, é de fato um espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto
é um espaço vetorial (um subespaço de
).