Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os pares da forma ( x, 0 ) com as operações usuais de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}
com as operações usuais de \mathbb{R}^2.
O conteúdo aqui é teoria de espaço vetorial e, mais especificamente, identificação de subespaço.
Para concluir que esse conjunto é um espaço vetorial, basta mostrar que ele é um subespaço de \mathbb{R}^2: verificar que contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do critério de subespaço:
  • O vetor zero de \mathbb{R}^2 é \mathbf{0}=(0,0). Como (0,0) tem primeira componente x=0, ele pertence ao conjunto.
  • Fechamento sob adição: dadas
    (x,0) e (y,0) no conjunto, (x,0)+(y,0)=(x+y,0),e x+y\in\mathbb{R}, logo (x+y,0) também está no conjunto.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e qualquer (x,0) no conjunto, \lambda\,(x,0)=(\lambda x,0),e \lambda x\in\mathbb{R}, logo (\lambda x,0) está no conjunto.

Passo 3

Como o conjunto é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, ele satisfaz o teste de subespaço de \mathbb{R}^2. Portanto, com as operações usuais, é de fato um espaço vetorial.

Resposta

Sim, o conjunto \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} é um espaço vetorial (um subespaço de \mathbb{R}^2).

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