Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto dos polinômios na variável
de grau
com as operações de soma e produto por escalar definidos por
O conjunto dos polinômios na variável
Passo 1
O enunciado considera o conjunto
formado apenas por polinômios de grau (isto é, cujo coeficiente de
é não–nulo) com a soma
formado apenas por polinômios de grau
e o produto por escalar
Queremos ver se esse par
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Passo 2
Um dos axiomas exige a existência de um elemento neutro aditivo
tal que, para todo
,
Em espaços de polinômios o candidato natural seria o polinômio nulo
porém esse polinômio não tem grau
(ele nem possui coeficiente líder não–nulo), logo não pertence ao conjunto.
Passo 3
Sem um elemento neutro aditivo em
já falha um dos axiomas fundamentais de espaço vetorial. Alternativamente, note que, ao somar
chegamos em
que também não está em
, mostrando falta de fechamento da soma.
Resposta
O conjunto dos polinômios de grau
com essas operações não é um espaço vetorial, pois não contém o polinômio nulo (nem fecha em operação de soma).