Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto dos polinômios na variável t de grau n com as operações de soma e produto por escalar definidos por
\begin{gathered} \left(a_{0}+a_{1} t+\cdots+a_{n} t^{n}\right)+\oplus\left(b_{0}+b_{1} t+\ldots b_{n} t^{n}\right)=\left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right) t+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right) t^{n} \\\ \lambda \otimes\left(a_{0}+a_{1} t+\cdots+a_{n} t^{n}\right)=\left(\lambda a_{0}\right)+\left(\lambda a_{1}\right) t+\cdots+\left(\lambda a_{n}\right) t^{n} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado considera o conjunto
\{\,a_{0}+a_{1}t+\cdots+a_{n}t^{n}\mid a_{i}\in\mathbb{R}\}
formado apenas por polinômios de grau n (isto é, cujo coeficiente de t^n é não–nulo) com a soma
p\oplus q = (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})t+\cdots+(a_{n}+b_{n})t^{n}
e o produto por escalar
\lambda\otimes p = (\lambda a_{0})+(\lambda a_{1})t+\cdots+(\lambda a_{n})t^{n}.
Queremos ver se esse par (V,\oplus,\otimes) satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Um dos axiomas exige a existência de um elemento neutro aditivo 0_V\in V tal que, para todo p\in V,
p\oplus 0_V = p.
Em espaços de polinômios o candidato natural seria o polinômio nulo
0(t)=0+0\,t+\cdots+0\,t^n,
porém esse polinômio não tem grau n (ele nem possui coeficiente líder não–nulo), logo não pertence ao conjunto.

Passo 3

Sem um elemento neutro aditivo em V já falha um dos axiomas fundamentais de espaço vetorial. Alternativamente, note que, ao somar
p(t)=t^n\quad\text{e}\quad q(t)=-\,t^n,
chegamos em
p\oplus q = 0(t),
que também não está em V, mostrando falta de fechamento da soma.

Resposta

O conjunto dos polinômios de grau n com essas operações não é um espaço vetorial, pois não contém o polinômio nulo (nem fecha em operação de soma).

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