Seja V=\mathbb{R}^{2} e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
\left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) \text { e } \lambda(x, y)=(0, \lambda y) .
Verifique se é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^{2} a adição usual
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})
e uma multiplicação por escalar não usual
\lambda\,(x,y)=(0,\,\lambda y).
Para ser espaço vetorial sobre \mathbb{R}, precisamos que (V,+) seja um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar satisfaça os axiomas de distribuição, compatibilidade e elemento neutro 1\cdot v=v.

Passo 2

Verificamos primeiro que (V,+) é grupo abeliano:
  • Fechamento: a soma de dois pares em \mathbb{R}^{2} ainda está em \mathbb{R}^{2}.
  • Associatividade e comutatividade: são as mesmas da adição em \mathbb{R}^{2}.
  • Elemento neutro: (0,0) satisfaz (x,y)+(0,0)=(x,y).
  • Inverso aditivo: para (x,y), o inverso é (-x,-y), pois (x,y)+(-x,-y)=(0,0).

Passo 3

Agora, checamos os axiomas de escalar-versor (já que os demais de distributividade e associatividade escalar até funcionam):
  1. Distribuição em relação à soma de vetores:
    \lambda\bigl((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\bigr) =\lambda(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) =(0,\,\lambda(y_{1}+y_{2})) =(0,\,\lambda y_{1}+\lambda y_{2})
    e
    \lambda(x_{1},y_{1})+\lambda(x_{2},y_{2}) =(0,\,\lambda y_{1})+(0,\,\lambda y_{2}) =(0,\,\lambda y_{1}+\lambda y_{2}).
    Então \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v.
  2. Distribuição em relação à soma de escalares:
    (\lambda+\mu)(x,y)=(0,\,(\lambda+\mu)y) =(0,\,\lambda y+\mu y)
    e
    \lambda(x,y)+\mu(x,y)=(0,\,\lambda y)+(0,\,\mu y) =(0,\,\lambda y+\mu y).
  3. Compatibilidade de produtos escalares:
    \lambda\bigl(\mu(x,y)\bigr) =\lambda(0,\,\mu y) =(0,\,\lambda\mu\,y) =(\lambda\mu)(x,y).

Passo 4

Porém, o axioma do escalar neutro 1 falha:
1\cdot(x,y)=(0,\,1\cdot y)=(0,y),
que em geral não é igual a (x,y) (a menos que x=0). Logo não existe elemento neutro correto para todos os vetores.

Resposta

Não é espaço vetorial, pois falha o axioma 1\cdot v=v.

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