Seja
e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Verifique se é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e uma multiplicação por escalar não usual
Para ser espaço vetorial sobre
, precisamos que
seja um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar satisfaça os axiomas de distribuição, compatibilidade e elemento neutro
.
Passo 2
Verificamos primeiro que
é grupo abeliano:
- Fechamento: a soma de dois pares em
ainda está em . - Associatividade e comutatividade: são as mesmas da adição em
. - Elemento neutro:
satisfaz . - Inverso aditivo: para
, o inverso é , pois .
Passo 3
Agora, checamos os axiomas de escalar-versor (já que os demais de distributividade e associatividade escalar até funcionam):
-
Distribuição em relação à soma de vetores:eEntão
. -
Distribuição em relação à soma de escalares:e
-
Compatibilidade de produtos escalares:
Passo 4
Porém, o axioma do escalar neutro 1 falha:
que em geral não é igual a
(a menos que
). Logo não existe elemento neutro correto para todos os vetores.
Resposta
Não é espaço vetorial, pois falha o axioma
.