Você considera possível existir um espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores distintos? Explique o seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um espaço vetorial sobre
que tenha exatamente dois vetores distintos. Para responder, vamos usar a definição de espaço vetorial: um conjunto
munido de adição e multiplicação escalar que satisfaz axiomas como existir um vetor zero e ser fechado sob multiplicação por todo
.
Passo 2
Em todo espaço vetorial
existe um único vetor neutro da adição, que chamamos de
. Se
tivesse exatamente dois elementos, teríamos
para algum
.
Passo 3
Uma das propriedades é o fechamento sob multiplicação escalar: para cada
deve valer
. Como
só contém
e
, cada
teria de coincidir com um deles, ou seja,
Passo 4
Se
então
, e se
então
. Mas para qualquer outro
com
temos
e
. Isso viola o fechamento, pois geraria um terceiro elemento em
. Logo não é possível haver exatamente dois vetores.
Resposta
Não, não existe espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores distintos.