Você considera possível existir um espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores distintos? Explique o seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um espaço vetorial sobre \mathbb{R} que tenha exatamente dois vetores distintos. Para responder, vamos usar a definição de espaço vetorial: um conjunto V munido de adição e multiplicação escalar que satisfaz axiomas como existir um vetor zero e ser fechado sob multiplicação por todo \alpha\in\mathbb{R}.

Passo 2

Em todo espaço vetorial V existe um único vetor neutro da adição, que chamamos de 0. Se V tivesse exatamente dois elementos, teríamos
V=\{0,v\}
para algum v\neq 0.

Passo 3

Uma das propriedades é o fechamento sob multiplicação escalar: para cada \alpha\in\mathbb{R} deve valer \alpha v\in V. Como V só contém 0 e v, cada \alpha v teria de coincidir com um deles, ou seja,
\alpha v = 0 \quad\text{ou}\quad \alpha v = v.

Passo 4

Se \alpha=0 então \alpha v=0, e se \alpha=1 então \alpha v=v. Mas para qualquer outro \alpha\in\mathbb{R} com \alpha\neq0,1 temos \alpha v\neq0 e \alpha v\neq v. Isso viola o fechamento, pois geraria um terceiro elemento em V. Logo não é possível haver exatamente dois vetores.

Resposta

Não, não existe espaço vetorial real formado por exatamente dois vetores distintos.

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