Usando a regra de Cramer resolva os seguintes sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+z=4 \\\\ 3 x-y-2=0 \\\\ -x-y+3 z=1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pela regra de Cramer, o sistema de três equações lineares e três incógnitas
\begin{cases} x + 2y + z = 4,\\\\ 3x - y - 2 = 0,\\\\ -\,x - y + 3z = 1. \end{cases}
Reescrevendo a segunda equação como 3x - y = 2, vamos usar a regra de Cramer, que exige calcular o determinante D da matriz dos coeficientes e os determinantes D_x, D_y, D_z obtidos substituindo, respectivamente, as colunas de x, y e z pelos termos independentes.

Passo 2

Monte a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
e calcule
D = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ -1 & -1 & 3 \end{vmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
D = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & -1\\[-3pt]-1 & -1\end{pmatrix}.
Calculando:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix}=-3,\quad \det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix}=9,\quad \det\!\begin{pmatrix}3 & -1\\[-3pt]-1 & -1\end{pmatrix}=-4,
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D = 1\cdot(-3) - 2\cdot9 + 1\cdot(-4) = -3 -18 -4 = -25.]

Passo 3

Forme D_x substituindo a primeira coluna de A pelos termos independentes (4,2,1):
D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 1\\\\ 2 & -1 & 0\\\\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} =4\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[-3pt]1 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\[-3pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix}=-3,\quad \det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[-3pt]1 & 3\end{pmatrix}=6,\quad \det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\[-3pt]1 & -1\end{pmatrix}=-1,
então
D_x = 4\cdot(-3) -2\cdot6 +1\cdot(-1) = -12 -12 -1 = -25.]

Passo 4

Forme D_y substituindo a segunda coluna de A pelos termos independentes:
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\\\ 3 & 2 & 0\\\\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[-3pt]1 & 3\end{pmatrix} -4\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 2\\[-3pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando:
\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[-3pt]1 & 3\end{pmatrix}=6,\quad \det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\[-3pt]-1 & 3\end{pmatrix}=9,\quad \det\!\begin{pmatrix}3 & 2\\[-3pt]-1 & 1\end{pmatrix}=5,
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D_y = 1\cdot6 -4\cdot9 +1\cdot5 = 6 -36 +5 = -25.]

Passo 5

Forme D_z substituindo a terceira coluna de A pelos termos independentes:
D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 3 & -1 & 2\\\\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 2\\[-3pt]-1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 2\\[-3pt]-1 & 1\end{pmatrix} +4\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & -1\\[-3pt]-1 & -1\end{pmatrix}.
Calculando:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 2\\[-3pt]-1 & 1\end{pmatrix}=1,\quad \det\!\begin{pmatrix}3 & 2\\[-3pt]-1 & 1\end{pmatrix}=5,\quad \det\!\begin{pmatrix}3 & -1\\[-3pt]-1 & -1\end{pmatrix}=-4,
portanto
D_z = 1\cdot1 -2\cdot5 +4\cdot(-4) = 1 -10 -16 = -25.]

Passo 6

Aplicando a regra de Cramer:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-25}{-25} = 1,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{-25} = 1,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-25}{-25} = 1.

Resposta

x = 1,\quad y = 1,\quad z = 1.

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