Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
W=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(-x)=-f(x)\}\

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathcal{F}(\mathbb{R}) (todas as funções reais) e o subconjunto
W = \{\,f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(-x) = -f(x)\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\},
isto é, o conjunto das funções ímpares. Para mostrar que W é subespaço de V, vamos verificar as três propriedades: não vazio (contém o vetor zero), fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio. A função nula 0\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por 0(x)=0 satisfaz
0(-x)=0 = -0 = -\,0(x),
logo 0\in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Sejam f,g\in W. Então para todo x temos
(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = [-f(x)]+[-g(x)] = -(f(x)+g(x)) = -(f+g)(x).
Logo f+g\in W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação escalar. Seja f\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Então
(\alpha f)(-x) = \alpha\,f(-x) = \alpha\bigl(-f(x)\bigr) = -\bigl(\alpha\,f(x)\bigr) = -(\alpha f)(x).
Logo \alpha f\in W.

Passo 5

Como W contém a função nula, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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