Seja
um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(todas as funções reais) e o subconjunto
isto é, o conjunto das funções ímpares. Para mostrar que
é subespaço de
, vamos verificar as três propriedades: não vazio (contém o vetor zero), fechamento sob soma e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que
não é vazio. A função nula
definida por
satisfaz
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então para todo
temos
Logo
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Logo
.
Passo 5
Como
contém a função nula, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
.