Nos itens a seguir, escreva ou , justificando sua resposta.
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \ldots-\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x

Passo 1

O enunciado dá duas integrais definidas com o mesmo intervalo e pede que eu escreva \ge ou \le entre elas, justificando. As expressões são:
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \quad\text{e}\quad -\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x.
Ou seja, preciso decidir se
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \;\ge\; -\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x \quad\text{ou}\quad \int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \;\le\; -\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x.
Os dados relevantes: os dois integrandos são funções polinomiais e o intervalo de integração é [-1,3].

Passo 2

Vou calcular as duas integrais explicitamente e comparar os valores numéricos. Lembrando as ferramentas básicas que vou usar:
  • Teorema Fundamental do Cálculo (versão prática): se F é antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
  • Linearidade da integral: \int (c\cdot f(x))\,dx = c\int f(x)\,dx e \int (f+g)\,dx = \int f + \int g.
  • Antiderivada de potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Vou aplicar isso passo a passo às duas integrais.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x.
Primeiro encontro uma antiderivada. Usando linearidade e a regra da potência:
\int \left(2x^{2}-4\right)\,dx = 2\int x^{2}\,dx -4\int 1\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} -4x = \frac{2}{3}x^{3}-4x.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x = \left[\frac{2}{3}x^{3}-4x\right]_{-1}^{3}.
Avalio nos extremos:
\left(\frac{2}{3}\cdot 3^{3}-4\cdot 3\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot(-1)^{3}-4\cdot(-1)\right).
Calcule passo a passo:
\frac{2}{3}\cdot 27 -12 = 18-12 = 6,
\frac{2}{3}\cdot(-1) -4\cdot(-1) = -\frac{2}{3} +4 = -\frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{10}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x = 6 - \frac{10}{3} = \frac{18}{3}-\frac{10}{3} = \frac{8}{3}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x.
Encontro antiderivada:
\int \left(x^{2}-6\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} -6x.
Aplicando os limites:
\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x = \left[\frac{x^{3}}{3}-6x\right]_{-1}^{3}.
Avalio:
\left(\frac{3^{3}}{3}-6\cdot 3\right)-\left(\frac{(-1)^{3}}{3}-6\cdot(-1)\right).
Calcule:
\frac{27}{3}-18 = 9-18 = -9,
\frac{-1}{3} +6 = -\frac{1}{3} + \frac{18}{3} = \frac{17}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x = -9 - \frac{17}{3} = -\frac{27}{3}-\frac{17}{3} = -\frac{44}{3}.

Passo 5

Agora comparo os valores. Temos
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x = \frac{8}{3}, \qquad \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x = -\frac{44}{3}.
Então
- \int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x = -\left(-\frac{44}{3}\right) = \frac{44}{3}.
Comparando \frac{8}{3} e \frac{44}{3} fica claro que \frac{8}{3}<\frac{44}{3}. Logo
\int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x < -\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x.
Como o enunciado pede apenas \ge ou \le, a relação correta é \le (na verdade é estrita <).

Resposta

\displaystyle \int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-4\right) d x \le -\int_{-1}^{3}\left(x^{2}-6\right) d x

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