Seja o vetor \mathbf{v}=(1,4,0) e os vetores \mathbf{v}_{1}=(1,-2,2), \mathbf{v}_{2}=(2,-13,7) e \mathbf{v}_{3}=(-1,-7,5) :
(a) Determine se o vetor \mathbf{v} é combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}
(b) Determine se os vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3} geram o vetor \mathbf{v}
(c) Escreva, se possível, o vetor \mathbf{v} como combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}
(d) Determine se os vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3} são LD.
(e) Determine o conjunto gerado pelos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}.
(f) Qual dos seguintes vetores são gerados por \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3} ?
a) (4,-26,14)
b) (2,-2,8)
c) (-3,3,1)
As perguntas são:
(a) Determinar se \mathbf{v} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
(b) Determinar se \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} geram \mathbf{v}.
(c) Escrever, se possível, \mathbf{v} como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
(d) Determinar se \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são linearmente dependentes (LD).
(e) Determinar o conjunto gerado por \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
(f) Dizer quais dos vetores abaixo são gerados por \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}:
O que significa escrever \mathbf{v} como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} ? Significa encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
Aqui \alpha,\beta,\gamma são incógnitas reais. Se existirem, então \mathbf{v} está no span (espaço gerado) de \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\} e resposta a (a) e (b) será “sim”. Vou montar o sistema de equações componentes a componentes.
Passo 3
Escrevo o sistema componente a componente. Usando as componentes dadas:
Agora respondo (d) sobre dependência linear. Definição prática: vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema homogêneo
é \alpha=\beta=\gamma=0. Um teste rápido para três vetores em \mathbb{R}^{3} é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas: se o determinante for diferente de zero, eles são linearmente independentes.
Formo a matriz A cujas colunas são \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}:
Como \det(A)=-36\neq0, as colunas são linearmente independentes. Logo, respondendo (d): os vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} NÃO são LD (ou seja, são linearmente independentes).]
Passo 7
Com a informação do passo anterior, respondo (e): três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} formam uma base de \mathbb{R}^{3} e, portanto, geram todo \mathbb{R}^{3}. Assim o conjunto gerado por \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\} é
Finalmente (f): como o span é todo \mathbb{R}^{3}, qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}. Logo os três vetores listados são gerados. Observação rápida e útil: o vetor da opção (i) é exatamente 2\mathbf{v}_{2} porque (4,-26,14)=2(2,-13,7), então ele está trivialmente no span; os outros também estão porque o span é todo \mathbb{R}^{3}.
Resposta
(a) Sim.
(b) Sim.
(c) \displaystyle \mathbf{v}=\tfrac{7}{3}\mathbf{v}_{1}-\tfrac{2}{3}\mathbf{v}_{2}+0\cdot\mathbf{v}_{3} (ou 3\mathbf{v}=7\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}).
(d) Não — os vetores são linearmente independentes ( \det=-36\neq0 ).
(e) \operatorname{span}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.
(f) Todos os três vetores (4,-26,14),\\ (2,-2,8),\\ (-3,3,1) são gerados por \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.