Seja o vetor \mathbf{v}=(1,4,0) e os vetores \mathbf{v}_{1}=(1,-2,2), \mathbf{v}_{2}=(2,-13,7) e \mathbf{v}_{3}=(-1,-7,5) :
(a) Determine se o vetor \mathbf{v} é combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}
(b) Determine se os vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3} geram o vetor \mathbf{v}
(c) Escreva, se possível, o vetor \mathbf{v} como combinação linear dos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}
(d) Determine se os vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3} são LD.
(e) Determine o conjunto gerado pelos vetores \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3}.
(f) Qual dos seguintes vetores são gerados por \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} e \mathbf{v}_{3} ?
a) (4,-26,14)
b) (2,-2,8)
c) (-3,3,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{v}=(1,4,0),\qquad \mathbf{v}_{1}=(1,-2,2),\qquad \mathbf{v}_{2}=(2,-13,7),\qquad \mathbf{v}_{3}=(-1,-7,5).
As perguntas são:
(a) Determinar se \mathbf{v} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
(b) Determinar se \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} geram \mathbf{v}.
(c) Escrever, se possível, \mathbf{v} como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
(d) Determinar se \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} são linearmente dependentes (LD).
(e) Determinar o conjunto gerado por \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.
(f) Dizer quais dos vetores abaixo são gerados por \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}:
\text{(i)}\\ (4,-26,14),\qquad \text{(ii)}\\ (2,-2,8),\qquad \text{(iii)}\\ (-3,3,1).

Passo 2

O que significa escrever \mathbf{v} como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} ? Significa encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}+\gamma\mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma são incógnitas reais. Se existirem, então \mathbf{v} está no span (espaço gerado) de \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\} e resposta a (a) e (b) será “sim”. Vou montar o sistema de equações componentes a componentes.

Passo 3

Escrevo o sistema componente a componente. Usando as componentes dadas:
\alpha(1)+\beta(2)+\gamma(-1)=1,
\alpha(-2)+\beta(-13)+\gamma(-7)=4,
\alpha(2)+\beta(7)+\gamma(5)=0.
Em forma mais compacta:
\begin{cases} \alpha+2\beta-\gamma=1,\\[4pt] -2\alpha-13\beta-7\gamma=4,\\[4pt] 2\alpha+7\beta+5\gamma=0. \end{cases}]

Passo 4

Vou resolver o sistema por substituição (é simples e dá contas fáceis). Da primeira equação isolamos \alpha\): \[\alpha=1-2\beta+\gamma.
Substituo esse \alpha nas outras duas equações.
Substituindo na segunda:
-2(1-2\beta+\gamma)-13\beta-7\gamma=4.
Faço as contas passo a passo:
-2+4\beta-2\gamma-13\beta-7\gamma=4,
(-9\beta)+(-9\gamma)-2=4,
-9\beta-9\gamma=6.
Dividindo por -9:
\beta+\gamma=-\tfrac{2}{3}. \tag{A}
Substituindo \alpha=1-2\beta+\gamma na terceira equação:
2(1-2\beta+\gamma)+7\beta+5\gamma=0.
Passo a passo:
2-4\beta+2\gamma+7\beta+5\gamma=0,
2+3\beta+7\gamma=0,
3\beta+7\gamma=-2. \tag{B}
Agora resolvo o sistema das equações (A) e (B):
\begin{cases} \beta+\gamma=-\tfrac{2}{3},\\[4pt] 3\beta+7\gamma=-2. \end{cases}
Multiplico (A) por 3\]: \(3\beta+3\gamma=-2. Subtraindo essa da equação (B):
(3\beta+7\gamma)-(3\beta+3\gamma)= -2 - (-2),
4\gamma=0,
logo
\gamma=0.
Com \gamma=0 da (A) vem
\beta=-\tfrac{2}{3}.
E então (\alpha=1-2\beta+\gamma=1-2(-\tfrac{2}{3})+0=1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3}.
]
Portanto encontramos
(\alpha,\beta,\gamma)=\Big(\tfrac{7}{3},-\tfrac{2}{3},0\Big).)

Passo 5

Com a solução encontrada concluo as partes (a),(b),(c):
  • Existe solução, logo \mathbf{v} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} — resposta a (a): sim.
  • Assim \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} geram \mathbf{v} — resposta a (b): sim.
  • A combinação encontrada é
\mathbf{v}=\tfrac{7}{3}\,\mathbf{v}_{1}-\tfrac{2}{3}\,\mathbf{v}_{2}+0\cdot\mathbf{v}_{3},
ou, multiplicando ambos os lados por 3,
3\mathbf{v}=7\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}.

Passo 6

Agora respondo (d) sobre dependência linear. Definição prática: vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes se a única solução do sistema homogêneo
\alpha\mathbf{v}_{1}+\beta\mathbf{v}_{2}+\gamma\mathbf{v}_{3}=\mathbf{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Um teste rápido para três vetores em \mathbb{R}^{3} é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas: se o determinante for diferente de zero, eles são linearmente independentes.
Formo a matriz A cujas colunas são \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] -2 & -13 & -7\\[4pt] 2 & 7 & 5 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante por expansão:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-13 & -7\\[2pt]7 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -7\\[2pt]2 & 5\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -13\\[2pt]2 & 7\end{pmatrix}.
Calculemos os menores:
\det\begin{pmatrix}-13 & -7\\[2pt]7 & 5\end{pmatrix}=(-13)\cdot5-(-7)\cdot7=-65+49=-16,
\det\begin{pmatrix}-2 & -7\\[2pt]2 & 5\end{pmatrix}=(-2)\cdot5-(-7)\cdot2=-10+14=4,
\det\begin{pmatrix}-2 & -13\\[2pt]2 & 7\end{pmatrix}=(-2)\cdot7-(-13)\cdot2=-14+26=12.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-16)-2\cdot(4)+(-1)\cdot(12)=-16-8-12=-36.
Como \det(A)=-36\neq0, as colunas são linearmente independentes. Logo, respondendo (d): os vetores \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} NÃO são LD (ou seja, são linearmente independentes).]

Passo 7

Com a informação do passo anterior, respondo (e): três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{3} formam uma base de \mathbb{R}^{3} e, portanto, geram todo \mathbb{R}^{3}. Assim o conjunto gerado por \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\} é
\operatorname{span}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 8

Finalmente (f): como o span é todo \mathbb{R}^{3}, qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} é combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}. Logo os três vetores listados são gerados. Observação rápida e útil: o vetor da opção (i) é exatamente 2\mathbf{v}_{2} porque (4,-26,14)=2(2,-13,7), então ele está trivialmente no span; os outros também estão porque o span é todo \mathbb{R}^{3}.

Resposta

(a) Sim.
(b) Sim.
(c) \displaystyle \mathbf{v}=\tfrac{7}{3}\mathbf{v}_{1}-\tfrac{2}{3}\mathbf{v}_{2}+0\cdot\mathbf{v}_{3} (ou 3\mathbf{v}=7\mathbf{v}_{1}-2\mathbf{v}_{2}).
(d) Não — os vetores são linearmente independentes ( \det=-36\neq0 ).
(e) \operatorname{span}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.
(f) Todos os três vetores (4,-26,14),\\ (2,-2,8),\\ (-3,3,1) são gerados por \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.

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