Nos itens a seguir, diga qual cônica cada equação representa, indique seus elementos e esboce seu gráfico:
Passo 1
O enunciado dá uma única equação quadrática em
e
:
O que é pedido:
- Identificar que cônica essa equação representa.
- Indicar os elementos relevantes dessa cônica (forma canônica, centro, raio, pontos notáveis, etc.).
- Esboçar (descrever) o gráfico.
Vou primeiro listar claramente os dados fornecidos: os coeficientes das partes quadráticas são
para
e
para
; os termos lineares são
e
; o termo independente é
.
Passo 2
Critério rápido para identificar a cônica (explicando o que eu uso):
- Para uma equação geral do segundo grau em duas variáveis escrevemos
. - O discriminante quadrático usado para classificar a cônica é
. - Se
e e , a cônica é um círculo. - Se
mas , é uma elipse (não degenerada). - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
Aqui, comparando com a forma geral:, , . Então e , o que já sugere fortemente que se trata de um círculo.
- Se
Passo 3
Para obter a forma canônica de centro e raio, é conveniente dividir tudo por
(coeficiente comum) e completar quadrados. Dividindo a equação dada por
:
Essa é uma forma mais limpa para completar quadrados.
Passo 4
Explicação do método de completar quadrados (mini-aula):
- Para transformar
em um quadrado perfeito, lembramos que . - Assim,
. Ou seja: adiciona-se e subtrai-se para formar o quadrado perfeito. - Mesma ideia vale para
.
Vou aplicar isso aos termos em
e
da equação atual.
Passo 5
Completar quadrados na equação
.
Para
: o termo linear é
, aqui
, então
e
.
Para : o termo linear é
, aqui
, então
e
.
Para
Agora escrevemos:
Substituindo na equação:
Passo 6
Agrupando constantes:
Portanto a forma canônica é
Passo 7
Interpretação e elementos da cônica (explicando cada termo):
- A equação
é a forma padrão de um círculo com centro e raio . - Aqui
, e , então .
- Aqui
- Centro:
. - Raio:
. - Diâmetro:
. - Área do círculo (se precisar na prova):
. - Perímetro (circunferência):
.
Passo 8
Pontos notáveis (úteis para esboço e para checar interceptos):
- Pontos extremos (há quatro “vértices” sobre os eixos do círculo): são
centro mais deslocamentos de comprimento nas direções coordenadas: - direita:
; - esquerda:
; - cima:
; - baixo:
.
- direita:
- Interceptos com o eixo
(colocar e resolver):
Então interceptos em
:
e
.
- Interceptos com o eixo
(colocar e resolver):
Então interceptos em
:
e
.
Passo 9
Como esboçar (dicas práticas para prova, sem calculadora):
- Marque o centro em
. - A partir do centro, desenhe um círculo de raio
. Use os quatro pontos extremos listados para guiar (eles estão à distância na horizontal e vertical). - Marque também os interceptos com os eixos para melhorar a precisão (valores com raízes podem ser aproximados:
, ). - Se precisar justificar de forma algébrica, apresente a transformação que fizemos até
.
Passo 10
Resumo final e incentivo: concluímos passo a passo que a curva é um círculo com centro
e raio
. Se estiver apreensivo antes da prova, recomendo treinar completar quadrados com alguns exemplos (por exemplo transformar
em
) — isso fica fácil com prática. Vai dar certo!
Resposta
Tipo: círculo.
Equação na forma padrão: .
Centro: .
Raio: .
Interceptos em :
.
Interceptos em :
.
Equação na forma padrão:
Centro:
Raio:
Interceptos em
Interceptos em