Nos itens a seguir, diga qual cônica cada equação representa, indique seus elementos e esboce seu gráfico:
2 x^{2}+2 y^{2}-4 x-8 y-22=0

Passo 1

O enunciado dá uma única equação quadrática em x e y:
2x^{2}+2y^{2}-4x-8y-22=0.
O que é pedido:
  • Identificar que cônica essa equação representa.
  • Indicar os elementos relevantes dessa cônica (forma canônica, centro, raio, pontos notáveis, etc.).
  • Esboçar (descrever) o gráfico.
Vou primeiro listar claramente os dados fornecidos: os coeficientes das partes quadráticas são 2 para x^{2} e 2 para y^{2}; os termos lineares são -4x e -8y; o termo independente é -22.

Passo 2

Critério rápido para identificar a cônica (explicando o que eu uso):
  • Para uma equação geral do segundo grau em duas variáveis escrevemos \,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.
  • O discriminante quadrático usado para classificar a cônica é \Delta_q = B^{2}-4AC.
    • Se \Delta_q<0 e A=C e B=0, a cônica é um círculo.
    • Se \Delta_q<0 mas A\neq C, é uma elipse (não degenerada).
    • Se \Delta_q=0, é uma parábola.
    • Se \Delta_q>0, é uma hipérbole.
      Aqui, comparando com a forma geral: A=2, B=0, C=2. Então A=C e B=0, o que já sugere fortemente que se trata de um círculo.

Passo 3

Para obter a forma canônica de centro e raio, é conveniente dividir tudo por 2 (coeficiente comum) e completar quadrados. Dividindo a equação dada por 2:
x^{2}+y^{2}-2x-4y-11=0.
Essa é uma forma mais limpa para completar quadrados.

Passo 4

Explicação do método de completar quadrados (mini-aula):
  • Para transformar x^{2}+bx em um quadrado perfeito, lembramos que (x+\tfrac{b}{2})^{2}=x^{2}+bx+(\tfrac{b}{2})^{2}.
  • Assim, x^{2}+bx = (x+\tfrac{b}{2})^{2} - (\tfrac{b}{2})^{2}. Ou seja: adiciona-se e subtrai-se (\tfrac{b}{2})^{2} para formar o quadrado perfeito.
  • Mesma ideia vale para y.
Vou aplicar isso aos termos em x e y da equação atual.

Passo 5

Completar quadrados na equação \,x^{2}+y^{2}-2x-4y-11=0.
Para x: o termo linear é -2x, aqui b=-2, então \tfrac{b}{2}=-1 e (\tfrac{b}{2})^{2}=1.
Para y: o termo linear é -4y, aqui b=-4, então \tfrac{b}{2}=-2 e (\tfrac{b}{2})^{2}=4.
Agora escrevemos:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \qquad y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Substituindo na equação:
\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) + \bigl((y-2)^{2}-4\bigr) -11 = 0.

Passo 6

Agrupando constantes:
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} -1 -4 -11 = 0
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} -16 = 0
Portanto a forma canônica é
(x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16.

Passo 7

Interpretação e elementos da cônica (explicando cada termo):
  • A equação (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} é a forma padrão de um círculo com centro (h,k) e raio r.
    • Aqui h=1, k=2 e r^{2}=16, então r=4.
  • Centro: \,(1,2).
  • Raio: \,4.
  • Diâmetro: 2r=8.
  • Área do círculo (se precisar na prova): \pi r^{2} = \pi\cdot16 = 16\pi.
  • Perímetro (circunferência): 2\pi r = 8\pi.

Passo 8

Pontos notáveis (úteis para esboço e para checar interceptos):
  • Pontos extremos (há quatro “vértices” sobre os eixos do círculo): são centro mais deslocamentos de comprimento r nas direções coordenadas:
    • direita: (1+4,\,2) = (5,\,2);
    • esquerda: (1-4,\,2) = (-3,\,2);
    • cima: (1,\,2+4) = (1,\,6);
    • baixo: (1,\,2-4) = (1,\,-2).
  • Interceptos com o eixo x (colocar y=0 e resolver): (x-1)^{2} + (0-2)^{2} = 16 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+4=16
(x-1)^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad x-1=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}
x = 1 \pm 2\sqrt{3}.
Então interceptos em x: \left(1+2\sqrt{3},\,0\right) e \left(1-2\sqrt{3},\,0\right).
  • Interceptos com o eixo y (colocar x=0 e resolver): (0-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16 \quad\Rightarrow\quad 1 + (y-2)^{2}=16
(y-2)^{2}=15 \quad\Rightarrow\quad y-2=\pm\sqrt{15}
y = 2 \pm \sqrt{15}.
Então interceptos em y: \left(0,\,2+\sqrt{15}\right) e \left(0,\,2-\sqrt{15}\right).

Passo 9

Como esboçar (dicas práticas para prova, sem calculadora):
  • Marque o centro em (1,2).
  • A partir do centro, desenhe um círculo de raio 4. Use os quatro pontos extremos listados para guiar (eles estão à distância 4 na horizontal e vertical).
  • Marque também os interceptos com os eixos para melhorar a precisão (valores com raízes podem ser aproximados: 2\sqrt{3}\approx 3{,}46, \sqrt{15}\approx 3{,}87).
  • Se precisar justificar de forma algébrica, apresente a transformação que fizemos até (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=16.

Passo 10

Resumo final e incentivo: concluímos passo a passo que a curva é um círculo com centro (1,2) e raio 4. Se estiver apreensivo antes da prova, recomendo treinar completar quadrados com alguns exemplos (por exemplo transformar x^{2}-6x em (x-3)^{2}-9) — isso fica fácil com prática. Vai dar certo!

Resposta

Tipo: círculo.
Equação na forma padrão: (x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 16.
Centro: (1,2).
Raio: 4.
Interceptos em x: \left(1\pm 2\sqrt{3},\,0\right).
Interceptos em y: \left(0,\,2\pm\sqrt{15}\right).

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