Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados. Foi pedido para calcular a antiderivada (ou integral indefinida) da função dada. A integral é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A integranda é a soma de três termos:
, e . - Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter uma constante de integração
. - A expressão tem potências negativas de
( e ), logo vale atentar para o ponto onde a função não está definida.
Passo 2
Reescrever os termos usando potências para aplicar a regra do poder de forma direta. Troco as frações por potências negativas:
Agora a integral fica
Passo 3
Apresentar a regra que vou usar (regra do poder para integração) e explicar calmamente. A regra do poder diz:
O que isso significa: para integrar uma potência
, aumenta-se o expoente em
(ou seja, para
passa a ser
) e divide-se por esse novo expoente
. O caso
corresponde a
, que é especial — mas aqui os expoentes são
e
, então o caso especial não aparece e podemos aplicar a fórmula normalmente.
Passo 4
Aplicar a regra do poder termo a termo. A integral de uma soma é a soma das integrais, então faço cada termo separadamente.
Integral do primeiro termo
:
Explicação: integrar a constante
dá
vezes a integral de
, que é
.
Integral do segundo termo
:
Calculo o expoente novo
e divido por
. Simplificando sinais:
Integral do terceiro termo
:
Aqui
e a divisão por
dá
.
Passo 5
Juntar os resultados parciais e escrever de forma mais limpa. Somando as três integrais obtemos
Reescrevendo as potências negativas como frações para ficar mais legível:
Passo 6
Verificação rápida (derivação) para ganhar confiança: derivando a resposta devemos recuperar a integranda. Derivo termo a termo:
Derivada de
é
.
Derivada de
é
Derivada de
é
Somando:
, que é exatamente a integranda. Tudo conferido.