Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados. Foi pedido para calcular a antiderivada (ou integral indefinida) da função dada. A integral é
\int\left(3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integranda é a soma de três termos: 3, -\dfrac{1}{x^{4}} e \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter uma constante de integração C.
  • A expressão tem potências negativas de x ( x^{-4} e x^{-2}), logo vale atentar para o ponto x=0 onde a função não está definida.

Passo 2

Reescrever os termos usando potências para aplicar a regra do poder de forma direta. Troco as frações por potências negativas:
3-\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{2}} = 3 - x^{-4} + x^{-2}.
Agora a integral fica
\int\left(3 - x^{-4} + x^{-2}\right)\,dx.

Passo 3

Apresentar a regra que vou usar (regra do poder para integração) e explicar calmamente. A regra do poder diz:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad\text{para } n\neq -1.
O que isso significa: para integrar uma potência x^{n}, aumenta-se o expoente em 1 (ou seja, para n passa a ser n+1) e divide-se por esse novo expoente n+1. O caso n=-1 corresponde a \int x^{-1}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C, que é especial — mas aqui os expoentes são -4 e -2, então o caso especial não aparece e podemos aplicar a fórmula normalmente.

Passo 4

Aplicar a regra do poder termo a termo. A integral de uma soma é a soma das integrais, então faço cada termo separadamente.
Integral do primeiro termo 3:
\int 3\,dx = 3\int 1\,dx = 3x.
Explicação: integrar a constante 3 3 vezes a integral de 1, que é x.
Integral do segundo termo -x^{-4}:
\int -x^{-4}\,dx = -\int x^{-4}\,dx = -\frac{x^{-4+1}}{-4+1} = -\frac{x^{-3}}{-3}.
Calculo o expoente novo n+1 = -4+1 = -3 e divido por -3. Simplificando sinais:
-\frac{x^{-3}}{-3} = \frac{x^{-3}}{3}.
Integral do terceiro termo x^{-2}:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Aqui n+1 = -1 e a divisão por -1 -x^{-1}.

Passo 5

Juntar os resultados parciais e escrever de forma mais limpa. Somando as três integrais obtemos
3x + \frac{x^{-3}}{3} - x^{-1} + C.
Reescrevendo as potências negativas como frações para ficar mais legível:
3x + \frac{1}{3x^{3}} - \frac{1}{x} + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação) para ganhar confiança: derivando a resposta devemos recuperar a integranda. Derivo termo a termo:
Derivada de 3x é 3.
Derivada de \dfrac{1}{3x^{3}} = \dfrac{1}{3}x^{-3} é
\dfrac{1}{3}\cdot(-3)x^{-4} = -x^{-4} = -\frac{1}{x^{4}}.
Derivada de -\dfrac{1}{x} = -x^{-1} é
-(-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}.
Somando: 3 - \dfrac{1}{x^{4}} + \dfrac{1}{x^{2}}, que é exatamente a integranda. Tudo conferido.

Resposta

\;3x+\dfrac{1}{3x^{3}}-\dfrac{1}{x}+C

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