Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
\int\left(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivação (integral indefinida) da função dada. As informações relevantes são:
  • Temos que calcular \displaystyle \int\left(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+5\right)\,dx.
  • Não há limites de integração; portanto procuramos uma primitiva geral, isto é, a família de funções cujo diferencial é o integrando, e devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro é conveniente reescrever a expressão em potências de x para aplicar a regra básica de integração. Lembrando que \dfrac{1}{x^{k}}=x^{-k}, escrevemos o integrando como:
\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+5 = 2x^{-3}+3x^{-2}+5.
Também usamos que a integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser puxadas para fora. Assim
\int\left(2x^{-3}+3x^{-2}+5\right)\,dx = 2\int x^{-3}\,dx + 3\int x^{-2}\,dx + \int 5\,dx.

Passo 3

Agora a regra que usaremos: a regra da potência para antiderivadas. Para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando: a fórmula diz que para elevar o expoente você soma 1 ao expoente n e divide pelo novo expoente n+1. A constante C representa que há infinitas primitivas (diferença por uma constante). Exemplo simples: usando a regra, \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C porque 2+1=3 e divide-se por 3.

Passo 4

Aplicando a regra ao primeiro termo 2\int x^{-3}\,dx:
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2}.
Multiplicando pela constante 2:
2\int x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2}.
Em forma de fração, isso é -\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Aplicando ao segundo termo 3\int x^{-2}\,dx:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Multiplicando por 3:
3\int x^{-2}\,dx = 3\cdot(-x^{-1}) = -3x^{-1},
ou seja -\dfrac{3}{x}.

Passo 6

Para o terceiro termo \int 5\,dx: uma constante a tem primitiva ax, porque \dfrac{d}{dx}(ax)=a. Assim
\int 5\,dx = 5x.

Passo 7

Agora somamos as primitivas obtidas e adicionamos a constante de integração C:
\int\left(\frac{2}{x^{3}}+\frac{3}{x^{2}}+5\right)\,dx = -x^{-2} - 3x^{-1} + 5x + C.
Escrevendo em termos de frações:
-\,\frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x} + 5x + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando essa expressão obtemos \dfrac{d}{dx}\!\left(-x^{-2}\right)=2x^{-3}, \dfrac{d}{dx}\!\left(-3x^{-1}\right)=3x^{-2} e \dfrac{d}{dx}(5x)=5, que somados retornam exatamente o integrando.

Resposta

-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{3}{x}+5x+C

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