Nos itens a seguir, efetue a antidiferenciação.
Passo 1
O enunciado pede a antiderivação (integral indefinida) da função dada. As informações relevantes são:
- Temos que calcular
. - Não há limites de integração; portanto procuramos uma primitiva geral, isto é, a família de funções cujo diferencial é o integrando, e devemos acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro é conveniente reescrever a expressão em potências de
para aplicar a regra básica de integração. Lembrando que
, escrevemos o integrando como:
Também usamos que a integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser puxadas para fora. Assim
Passo 3
Agora a regra que usaremos: a regra da potência para antiderivadas. Para todo
,
Explicando: a fórmula diz que para elevar o expoente você soma
ao expoente
e divide pelo novo expoente
. A constante
representa que há infinitas primitivas (diferença por uma constante). Exemplo simples: usando a regra,
porque
e divide-se por
.
Passo 4
Aplicando a regra ao primeiro termo
:
Multiplicando pela constante
:
Em forma de fração, isso é
.
Passo 5
Aplicando ao segundo termo
:
Multiplicando por
:
ou seja
.
Passo 6
Para o terceiro termo
: uma constante
tem primitiva
, porque
. Assim
Passo 7
Agora somamos as primitivas obtidas e adicionamos a constante de integração
:
Escrevendo em termos de frações:
Verificação rápida (útil na prova): derivando essa expressão obtemos
,
e
, que somados retornam exatamente o integrando.