Para os itens a seguir, encontre as parametrizações para as seguintes superfícies.
O tronco do cone z^2=x^2+y^2, para 2 <= z <= 8.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do cone dado por
z^2 = x^2 + y^2,
restrita a 2 <= z <= 8.
O conteúdo aqui é usar coordenadas cilíndricas para representar superfícies de revolução e converter a equação r^2=z^2 numa relação simples entre r e z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e a equação do cone vira
r^2 = z^2Longrightarrow r = |z|
Como queremos z>=2>0, basta tomar r=z.

Passo 3

Escolhemos os parâmetros theta e z, com
0 <= theta <= 2pi, 2 <= z <= 8
Então a parametrização X(theta,z) é
X(theta,z) = l(x(theta,z),,y(theta,z),,z(theta,z)r) = l(zcostheta,;zsintheta,;zr)

Resposta

Uma parametrização conveniente é
boxed X(theta,z) = l(zcostheta,;zsintheta,;zr), 0 <= theta <= 2pi, 2 <= z <= 8

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