Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de
para as equaçÔes diferenciais a seguir.
Passo 1
Estamos resolvendo a EDO y’’+(x-1)y’+y=0 por séries de potências em torno de x=0. O conteúdo envolve assumir uma série de Taylor para y(x), derivar termo a termo e alinhar potências de x para obter uma recorrência nos coeficientes.
Passo 2
Assumimos a solução na forma
Passo 3
Derivando termo a termo temos
Passo 4
Substituindo y, y’ e y’’ na EDO e escrevendo (x-1)y’=x y’-y’ obtemos
Agrupando os termos de mesmo grau x^n chegamos a uma única soma que deve anular para todo n.
Passo 5
Para cada n≥0 obtemos a relação de recorrência
Dividindo por (n+1) dá
Passo 6
Os coeficientes iniciais a_0 e a_1 são livres. Calculamos alguns termos:
Passo 7
Assim a solução geral é combinação linear de duas séries independentes:
com, por exemplo,
Resposta
Relação de recorrência:
, com a_0 e a_1 livres. Solução geral: