Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de x=0 para as equaçÔes diferenciais a seguir.
y^prime prime+(x-1) y^prime+y=0

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO y’’+(x-1)y’+y=0 por séries de potências em torno de x=0. O conteúdo envolve assumir uma série de Taylor para y(x), derivar termo a termo e alinhar potências de x para obter uma recorrência nos coeficientes.

Passo 2

Assumimos a solução na forma
y(x)=sumn=0^inftyan x^n

Passo 3

Derivando termo a termo temos
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 4

Substituindo y, y’ e y’’ na EDO e escrevendo (x-1)y’=x y’-y’ obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n +sumn=0^inftyn an x^n -sumn=0^infty(n+1)an+1x^n +sumn=0^inftyan x^n=0
Agrupando os termos de mesmo grau x^n chegamos a uma única soma que deve anular para todo n.

Passo 5

Para cada n≥0 obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2+(n+1)an-(n+1)an+1=0
Dividindo por (n+1) dá
an+2=an+1-ann+2

Passo 6

Os coeficientes iniciais a_0 e a_1 são livres. Calculamos alguns termos:
a2=a1-a02, a3=a2-a13, a4=a3-a24,dots

Passo 7

Assim a solução geral é combinação linear de duas séries independentes:
y(x)=a0,y1(x)+a1,y2(x)
com, por exemplo,
y1(x)=1-tfrac12x^2-tfrac16x^3+tfrac112x^4+cdots,
y2(x)=x+tfrac12x^2-tfrac16x^3-tfrac16x^4+cdots

Resposta

Relação de recorrência: an+2=an+1-ann+2, com a_0 e a_1 livres. Solução geral:
y(x)=a0l(1-tfrac12x^2-tfrac16x^3+tfrac112x^4+cdotsr)+a1l(x+tfrac12x^2-tfrac16x^3-tfrac16x^4+cdotsr)

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